NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Débutants Division	Divisibilité				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Introduction	Par 27	Par 37	Critères
		Sommaire de cette page >>> Critère de divisibilité par 37 >>> Nombres de 1, 2 ou 3 chiffres >>> Permutations sur les blocs de trois >>> Nombres de plus de 3 chiffres >>> Multiples de 37 >>> Règle et démonstration pour plus de trois chiffres >>> Méthode continue avec clé = – 11 >>> Pannumériques >>> Quantité de nombres à chiffres distincts divisibles par 37

DIVISIBILITÉ par 37

Critère de divisibilité par 37 (valable aussi pour 27):

Séparez classiquement les chiffres en blocs de trois.

Faites la somme de ces nombres.

Si la somme est divisible par 37, le nombre complet est divisible par 37.

Notez que: 37 x 3 = 111 et 37 x 27 = 999 = 1000 – 1.

Voir Divisibilité par 37 (terminale)

Critère de divisibilité par 37
Procédé expliqué sur un exemple. Partager le nombre en blocs de trois chiffres. Ajouter les nombres de deux chiffres de droite. Ajouter les chiffres de gauche et multiplier par 11. Si la différence est divisible par 37, le nombre l'est aussi. Explication Les restes de la division par 37 des puissances de 10 forment un cycle {1, 10, 26} que l'on peut aussi écrire {1, 10, -11} avec 26 – 37 = –11 Alors un nombre comme: 2368 = 2x1000 + 3x100+ 6x10 + 8 devient, en termes de restes de la division par 37: Le nombre 2368 est divisible par 37 (2368 = 37 x 64).	Exemple de calcul de divisibilité par 37 La différence des deux sommes est nulle, le nombre est divisible par 37: 4 567 872 = 37 x 123456 Restes des puissances de 10 divisées par 37

Voir Brève 798

Nombres de 1, 2 ou 3 chiffres
Nombres divisibles par 37 (ou multiples de 37): 1 chiffre: aucun. 2 chiffres: 37 et 74 3 chiffres: 111, 148, 185 … 222 … 333 … 999. Notez que: 11 multiples à trois chiffres sur 25 sont facilement reconnaissables.	Comment reconnaitre si un nombre à trois chiffres est divisible par 7? Comme tous les repdigits (111, 222, 333 …) sont divisibles par 37, il suffit de calculer la "distance" à un de ces nombres. Exemples: 456 divisible par 37? 456 – 444 = 12 Non divisible par 37 481 divisible par 37? 481 – 444 = 37 Divisible par 37
Les nombres repdigits de 3k chiffres sont divisibles par 37. Les nombres dont les blocs de trois sont des repdigits sont divisibles par 37. Attention: Ne pas en déduire qu'un nombre est divisible par 37 si ses blocs de trois chiffres le sont.	Exemples: 333 333 333 = 333 . 10^6 + 333 . 10^3 + 333 = 9 . 37 .10^6 + 9 . 37 .10^3 + 9 . 37 = 9 . 37 (10^6 + 10^3 + 1) Divisible par 37. 333 666 777 = 333 . 10^6 + 666 . 10^3 + 777 = 9 . 37 .10^6 + 18 . 37 .10^3 + 21 . 37 = 37 (9 .10^6 + 18.10^3 + 21) Divisible par 37

Les premiers multiples de 37
La première colonne permet de retrouver tous les autres à trois chiffres: 37 et 74 pour 370 et 740; 111 pour 222, 333 … ; et 148, 185, 259, 296 pour leurs permutations circulaires.

Permutations sur les blocs de trois
Si un nombre de trois chiffres est divisible par 37, toutes ses permutations circulaires le sont. Attention: Ne pas en déduire Que cela est vrai pour tous les blocs de trois chiffres dans un nombre; ni pour les trois derniers chiffres d'un nombre de plus de trois chiffres.	Démonstration Idem pour l'autre configuration en 100u + 10c + d Exemple 148, 481 et 814 sont divisibles par 37.
Les cas de divisibilité par permutations circulaires (PC) sont nombreux: Ci-contre, l'exemple montre les six permutations circulaires; elles sont toutes divisibles par 37. Les permutations circulaires sur les blocs de trois chiffres ne sont divisibles par 36 que pour les trois permutations synchronisée. Soit un nombre de 3k chiffres. Toutes les PC sur l'ensemble des chiffres sont divisibles par 37, ainsi que toutes les PC synchronisées sur chaque bloc de 3 chiffres. Prudence si le dernier bloc de gauche ne comporte pas trois chiffres, ajouter les 0 nécessaires!		Exemple

Nombres de plus de 3 chiffres
Règle On se ramène à un nombre de trois chiffres au plus en ajoutant tous les blocs de trois chiffres du nombre. On répète cette opération de sommation si nécessaire.	Exemples 123 456 789 divisible par 37 ? 123 + 456 + 789 = 1 368 1 368 = 1 + 368 = 369 369 – 333 = 36 Non divisible par 37 De justesse! Manque une unité. Alors 123 456 790 est sûrement divisible par 37. 123 + 456 + 790 = 1 369 1 + 369 = 370 Divisible par 37.
Pourquoi cela marche?	Cela tient au fait que 999, proche de 1000 est divisible par 37
Séparons le nombre N en blocs de trois chiffres et indiquons que ce nombre est divisible par 37.	Voir Modulo Exemple 45 678 979 = 45 x 10^6 + 678 x 10^3 + 979
Exploitons le fait que les nombre 999, 999999 … sont des nombres divisibles par 37. De même que tous leurs multiples. Note: comme 999 est aussi divisible par 27, cette démonstration est valable pour 27.	Etc.
Retranchons de tels nombres de chaque côté de l'égalité. Limitons nous à 10^6 pour faciliter l'écriture. La méthode s'applique à aux puissances 3 k suivantes
En ne conservant que la partie de droite et en effectuant les soustractions. Introduisons également le fait que cela est vrai pour les blocs de trois de puissances supérieures.
Miracle! Nous avons la somme des blocs de trois!	Il suffit de tester la somme des blocs de trois chiffres.

Magie

Demander à choisir un nombre de trois chiffres.	321
Mentalement calculer le complément à 555 ou à 999.	234
Prétendez que vous avez un nombre divisible par 37 incluant le sien.	234 321 ou 321 234

Voir Magie

Méthode continue avec clé = – 11
Méthode alternative: Multiplier le dernier chiffre par 11; Soustraire du nombre courant; et recommencer jusqu'à épuisement des chiffres.	Exemples 1 369 divisible par 37 ? 136 – 9 x 11 = 37 1 369 Divisible par 37. 138269 divisible par 37 ? 13826 – 9 x 11 = 13 727 13 72 – 7 x 11 = 1 295 129 – 5 x 11 = 74 138 269 Divisible par 37. 93 092 9309 – 22 = 9 287 928 – 77 = 851 85 – 11 = 74 Divisible par 37.
Programmation sur tableur Voici un exemple avec un nombre de 10 chiffres non répétés, programmé sur tableur. Notez que dans ce cas N est un pannumérique (tous les chiffres, une fois). Pour chaque ligne N est égal à N' de la ligne précédente.

Pannumériques
Question posée par un internaute: Combien y-a-t'il de nombres pannumériques à 10 chiffres (exactement, excluant ceux commençant par 0)? Malgré toutes les propriétés énoncées ci-dessus, il ne semble pas exister de méthode simple évitant une recherche systématique par ordinateurs. L'exemple ci-contre peut être décliné selon diverses permutations cycliques. Deux 0 ont été ajoutés pour former des blocs de trois chiffres. Cette déclinaison est jolie, mais ne répond pas à la question, car 12 chiffres. Voir le cas des pannumériques divisibles par 11	Quantité de nombre pannumérique à 10 chiffres Premier chiffres: de 1 à 9 Pour les neuf autres: de 0 à 10 Soit: 9 x 9! = 3 265 920. Quantité de tels nombres divisible par 37 Dénombrement par programme: 85 104 Ces permutations sont divisibles par 37 Etc. Au total 63 tels nombres permutés.

Quantité de nombres à "Qté" de chiffres distincts, divisibles par 37

English corner

Subtract eleven times the last digit from the remaining leading truncated number. If the result is divisible by 37, then so was the first number. Apply this rule over and over again as necessary.

Avec 37	Nombre 37 Divisibilité par 37, 137 …
Suite	Divisibilité par 42 Divisibilité de formes polynomiales
Voir	Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 999
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