Nombre et dizaines

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CHIFFRE des DIZAINES

4	3	2	5	6
…	Millier	Centaine	Dizaine	Unité

Occasion de recenser les nombres automorphiques à trois chiffres comme 1 376³ = 2605285376

Extraction des centaines sur tableur

Voici le calcul pas à pas

Voici les formules à taper dans les cellules

En A, le nombre N.

En B, le chiffre des unités (u).

En C et D, la quantité de dizaines et le chiffre des dizaines (d).

En E et F, la quantité de centaines et le chiffre des centaines (c).

En G, le nombre formé par les trois derniers chiffres (cdu).

Programmation de l'extraction des centaines

Le logiciel Mapple donne directement le quotient (iquo) et le reste (irem).

Ces deux instructions sont utilisées dans une boucle qui restitue le chiffre des centaines pour les nombres à partir de 1000 avec un pas (by) de 177.

La quantité de dizaines (QDiz) est le quotient du nombre divisé par 10.

Le chiffre des dizaines est le reste de QDiz divisé par 10.

On répète l'opération pour les centaines.

> restart:

for N from 1000 to 2000 by 177 do

QDiz:= iquo(N,10):

Diz:= irem(QDiz,10):

QCent:= iquo(QDiz,10):

Cent:= irem(QCent,10):

lprint (N,Cent):

od:

1000, 0

1177, 1

1354, 3

1531, 5

1708, 7

1885, 8

Voir Programmation de la division et ses applications

Divisibilité
Un certain nombre de caractères de divisibilité ne nécessitent l'examen que des trois derniers chiffres d'un nombre; les centaines (c), les dizaines (d) et les unités (u). Exemple: les nombres qui se terminent par soit 000, 250, 500 ou 750 sont divisibles par 250. On écrit: cdu = {000, 250, 500, 750}. Note: les caractères liés à "du" sont donnés sur la page dizaines et rappelés ici (blanc); les nouveaux caractères sont en jaune.
2	u = {0, 2, 4, 6, 8}	1234 => 4 => 1234 divisible par 2
4	2d + u divisible par 4	556 => 2x5+6= 16 => 556 divisible par 4
5	u = {0,5}	12345 => 5 => 12345 divisible par 5
8	4c + 2d + u divisible par 8	9872 => 4x8 + 2x7 + 2 = 48 => 48 = 8 x 6 => 9872 divisible par 8
10	u = 0	3210 => 0 => 3210 divisible par 10
20	ud ={00, 20, 40, 60, 80}	1220 => 20 => divisible par 20
25	du = {00, 25, 50, 75}	1 075 => 75 => 1075 divisible par 25
40	2c + d divisible par 4 et u = 0	49 360 => 3x2 + 6 = 12 => 12 = 4x3; et u = 0 => 49 360 divisible par 12
50	du = {00, 50}	1 050 => 50 => 1050 divisible par 50
100	d = 0 et u = 0	45 600 => 00 => 45600 divisible par 100
125	cdu = {000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875}	7 375 => 375 => 7375 divisible par 125
200	c pair, d = 0 et u = 0	11 800 => 800 => 11 800 divisible par 200
250	cdu = {000, 250, 500, 750}	45 750 => 750 => 45 750 divisible par 250
500	cdu = {000, 500}	45 500 => 500 => 45 500 divisible par 500
Nous ne sommes pas étonnés par cette liste qui constitue, en fait, celle des diviseurs de 1000 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000}.

CENTAINES, DIZAINES et UNITÉS des PUISSANCES

Un nombre s'écrit, en isolant les centaines, les dizaines et les unités

N = … + 10 000D + 1000m + 100c + 10d + u

N = 1000 ( …10D + m) + 100c + 10d + u
N = 1000 a + cdu Pour éviter toute confusion, on peut écrire

Calculons les puissances de cette expression en utilisant ce que nous savons des identités remarquables. Tous calculs faits, on trouve:

(1000 a + du)^k =

Nous constatons que le terme hors centaines, dizaines et unités est divisible par 1000. Ce qui veut dire que les chiffres des centaines, des dizaines et des unités du nombre portés à une puissance est tout simplement égal aux chiffres des dizaines er des unités porté à cette puissance.

Si N = … CDU

Alors N^k = … cdu avec cdu centaine, dizaine et unité de CDU^k

Par exemple:

456⁴ = 43 237 380 096

3 456⁴ = 142 657 607 172 096

23 456⁴ = 302 702 363 432 452 096

123 456⁴ = 232 299 784 284 558 852 096

Terminaisons "cdu"

Sur la base de l'exploration vues pour les dizaines et les unités – nombre et leurs puissances ayant mêmes derniers chiffres – le tableau suivant résume toutes les possibilités prises par "cdu" de 2 à 999 pour toutes les puissances k de 2 à 20.

Exemples de lecture:

Colonne du "2": seuls les nombres se terminant par 376 et 625 ont un carré qui se termine par le même nombre, comme 1376² = 1 893 376.

Ligne du "057": seules les puissances 5, 9, 13 et 17 donnent des nombres de mêmes "cdu", comme 6057⁵ = 8152444826761722057.

Rappel: ne sont pas mentionnés les terminaisons pas 000 et 001 qui donnent toujours 000 et 001 à toutes puissances, comme 1001⁵ = 1005010010005001.

Deux lignes spéciales!

Celles du "625": toutes les puissances des nombres en 625 se terminent en 625;

Celles du "376": toutes les puissances des nombres en 376 se terminent en 376;

Vous remarquerez que (jusqu'à la puissance 20) seuls cinq motifs se répètent sur les lignes; ceux qui commencent:

en 2 pour toutes les puissances;

en 3, une sur deux;

en 5, une sur quatre;

en 6, une sur cinq; et

en 11, une seule jusqu'à la puissance 20. En fait, le motif est 11, 21, 31 …

BILAN

Propriété des carrés de certains nombres

Les puissances des nombres terminés par les nombres suivants se terminent toutes par ces nombres, et il n'y en a pas d'autres.

625

376

9 376

Propriété de ces nombres

Les carrés de ces sept nombres se terminent tous par le nombre lui-même.

Dans l'ordre:

25, 625, 390625, 36, 5776, 141376, 87909376.

Raison, par exemple pour 76

Tout nombre se terminant par 76 peut s'écrire

100A + 76

Exemple: 12376 = 123 x 100 + 76

Son carré devient:

(100A + 76)² = 10000A² + 15200A + 5776

= 10000A² + 15200A + 5700 + 76

= 100 (100A² + 152A + 57) + 76

= 100 B + 76

Le développement du carré redonne un nombre du même type que le nombre initial; il se termine aussi par 76 et cela quels que soit les autres chiffres placés devant; jusqu'à l'infini.

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