NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/12/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres DIVISIBLES RÉSISTANTS

Polydivisibles, Magiques, Persistants

Nombres de n chiffres divisibles par n,

et restants divisibles en éliminant ses chiffres les uns après les autres.

Exemple:

Approche
Construire de tels nombres n'est pas très difficile. Il suffit d'essayer les chiffres au fur et à mesure en respectant les critères de divisibilité. Voici la procédure pas à pas.
N° du chiffre	Explications	Qté	Exemples
1	Tous les chiffres de 1 à 9 sont divisibles par 1. Il y en a 9. Le 0 en tête n'apporte rien.	9	1, 2, 3 …
2	Tous les nombres pairs à deux chiffres sont divisibles par 2. Ils sont 5 par dizaine, soit 9 x 5 = 45.	45	10, 12, 14 …
3	Avec trois chiffres, le 3^e chiffre, ajouté aux deux autres doit donner un nombre divisible par 3. Ils sont 3 ou 4 selon la dizaine: 10 (2, 5, 8); 12 (0, 3, 6, 9); 14 (1, 4, 7); 16 (2,,5, 8) …	150	102, 120, 141 …
4	Il suffit que les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.	375	1020, 1200, 1412 …
5	Ajoutez un 0 ou un 1.	750	10200, 12000, 14120 …
6	Cela devient un peu plus fastidieux. Le nouveau nombre doit être pair et divisible par 3.	1200	102000, 120000, 141204 …
7	Là, ça se complique!	1713	1020005, 1200003, 1412040 …
8	Sans ordinateur, difficile; à la limite avec un tableur	2227	10200056, 12000032, 14120400 …
9	Jusqu'ici, on trouve toujours un nouveau chiffre à ajouter tout en conservant la divisibilité. Parmi les dix nouveaux nombres qu'il est possible de former, il y en a toujours un divisible par un nombre inférieur à 10.	2492	102000564, 120000321, 141204006 …
10	Avec un zéro de plus, le tour est joué. Et c'est la limite pour laquelle il ne sera pas toujours possible d'obtenir un nombre divisible plus grand.	2492	1020005640, 1200003210, 1412040060 …

Divisibles résistants et pannumériques

Nous nous intéressons aux nombres dont tous les chiffres sont différents. Tous ces nombres sont divisibles résistants et, donc, à 2, 3, … 9 chiffres différents. Ligne jaune: quantité de nombres en incluant le zéro / sans zéro. En ocre, à droite, tous les nombres pour 7, 8 et 9 chiffres et, parmi eux, en rouge ceux sans 0. Un seul élu pannumérique complet sans le 0: 381 654 729, ou a dix chiffres en lui ajoutant le 0 en unité. Voir Ce nombre est unique – Démonstration Notez bien qu'il existe 41 nombres à deux chiffres et non 45 comme indiqué ci-dessus car les nombres 22, 44, 66 et 88 sont éliminés, ici. Il n'y en a plus que 32 si on retire ceux comportant un 0.

Construire le plus long
Nous venons de voir comme exemple, la construction du nombre à neuf chiffres commençant par 10. Voici le développement complet. En ajoutant un nouveau chiffre, le nouveau nombre n'est jamais divisible par 12. Voyons ce que cela donne en essayant les plus grands chiffres à chaque fois. Pa meilleure pioche. Arrêt à 11. Peut-on faire mieux? Oui! Mais pour trouve le plus long, il faut un ordinateur et un petit programme. Le plus grand est un nombre à vingt-cinq chiffres. Le voici: 0,3608 ...10^25
Le plus grand divisible résistant et ses 25 chiffres

Connaissance de la famille

Première table donnant la quantité de nombres divisibles, le plus petit, le plus grand et quelques exemples sympathiques. Jusque là tous vont continuer leur vie de divisible sans résistance. Au rang 10 (nombres à dix chiffres), un simple 0 les rend divisibles par 10. Parmi ces 2492 nombres seuls 267 sont divisibles par 11 en leur ajoutant le chiffre approprié. La table suivante donne toujours le même type d'informations. En rouge, les informations relatives aux nombres divisibles résistants; ceux qui n'ont pas de suite divisible. Exemple: 1020005640 est divisible par 11 en lui ajoutant un 5; il n'ira pas beaucoup plus loin, car impossible de lui ajouter encore un chiffre pour le rendre divisible par 12. Par contre: 1080548820 n'est jamais divisible par 11 quel que soit le chiffre ajouté. C'est un résistant! Le plus petit nombre divisible résistant.

Suite de la table de 10 à 25 chiffres

Bilan

Les nombres divisibles résistants sont en nombre fini. Le dernier s'écrit avec 25 chiffres. Tous ses nombres tronqués d'un chiffre par la droite sont divisibles par la quantité de chiffres de ce nombre tronqué.

Exemple: en enlevant le 5 à droite:

360 852 885 036 840 078 603 672 / 24 = 15 035 536 876 535 003 275 153.

Voir Polydivisible

Suite	Nombres polydivisibles – Présentation alternative Premiers résistants Divisibilité (critère de -)
Voir	Allumettes et nombres Bases de numération Chiffres et puissances Motifs - Index Multiples de 8 et carrés Nombre de Lewis Carroll Nombres en toutes lettres Numération - historique Pannumérique Repdigits Somme de chiffres en puissance
DicoNombre	Nombre 381 654 729
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