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INDEX Divisibilité	Introduction	Divisibilité par 7, 11 et 13	Critères généraux
	Par 7	Divisibilité par 73, 137 …
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DIVISIBILITÉ par 7, 11 et 13

Méthode par tranches de milliers. La méthode est valable pour tester la divisibilité d'un nombre par 7 ou par 11 ou par 13, bénéficiant de la même propriété: chacun divise 1001. La démonstration emploie la notion de congruence (modulo), en fait ni plus ni moins que les restes des divisions par 7, 11 ou 13.

Divisibilité de N par D = 7, 11 ou 13 Exemple avec D = 7
Propriété 1	{7,11, 13}	premiers avec 10.
Ce qui veut dire	10, 100, 10^k	ne sont pas divisibles par 7.
Pour tout N et pour toute puissance k de 10	Si 7 divise N Si 7 ne divise pas N	alors 7 divise N x 10^k alors 7 ne divise pas N x 10^k
Propriété 2	7 x 11 x 13	= 1001
Division et expression en modulo	1 000	= 7 x 143 – 1 = – 1 mod 7 (ou 11 ou 13)
Pour un million	1 000 000 = 1 000 x 1 000	= (– 1 mod 7) x (– 1 mod 7) = (+ 1 mod 7)
Pour toute puissance de 1000 En formalisant: si k est pair alors k mod 2 = 0 et si k est impair k mod 2 = 1.	1 000^kimpair 1 000^kpair 1 000^k	= – 1 mod 7 = + 1 mod 7 = (–1)^k mod 2 mod 7 (ou 11 ou 13)
Conclusion 1	Toute tranche de milliers divisible par 7, 11 ou 13	donnera un reste 1, alternativement positif et négatif.
Prenons un nombre comportant trois tranches de milliers	N	= 1000^2 C + 1000^1 B + 1000^0 A
En division par 7 (mod 7)	N mod 7	= (–1) C + (+1) B + (–1) A = –C + B –A
Et d'une manière générale	N N mod 7	= 1000^k mk + 1000^k-1 mk-1 +…+ 1000^1 m1 + m0 = (–1)^k mod 2 mk + (–1)^k-1 mod 2 mk-1 +…+ m1 – m0
Conclusion 2 et finale	Le reste de la division par 7 (ou 11 ou 13) d'un nombre	est égale à la somme alternée en signe de ses tranches de milliers.

Relations avec divisibilité par 7
Nombre à deux chiffres Soit DU un nombre divisible par 7, alors: UD + D est divisible par 7.	14 = 7 x 2 41 + 1 = 42 = 7 x 6 21 = 7 x 3 12 + 2 = 14 = 7 x 2 28 = 7 x 4 82 + 2 = 84 = 7 x 12 35 = 7 x 5 53 + 3 = 56 = 7 x 8 Etc.
Nombre à trois chiffres Soit CDU un nombre divisible par 7, alors: UDC – (U – C) est divisible par 7.	105 = 7 x 15 501 – (5 – 1) = 497 = 7 x 71 112 = 7 x 16 211 – (2 – 1) = 210 = 7 x 30 119 = 7 x 17 911 – (9 – 1) = 903 = 7 x 129 126 = 7 x 18 621 – (6 – 1) = 616 = 7 x 88 Etc.
Nombre à quatre chiffres Soit MCDU un nombre divisible par 7, alors: UDCM + M – D – U est divisible par 7.	1001 = 7 x 143 1001 + 1 – 1 = 1001 1008 = 7 x 144 8001 + 1 – 8 = 7994 = 7 x 1142 8638 = 7 x 1234 8368 + 8 – 3 – 8 = 8365 = 7 x 1195 Etc.
Démonstrations
Soit N à deux chiffres, divisible par 7:	N = 10d + u = 7k u = 7k – 10d
Et M, le retourné plus la dizaines	M = 10u + d + d = 10u + 2d = 10(7k – 10d) + 2d = 70k – 100d + 2d = 70k – 98d = 7 (10k – 14d) Divisible par 7
Soit N à trois chiffres, divisible par 7:	N = 100c + 10d + u = 7k u = 7k – 100c – 10d
Et M, le retourné plus centaine moins unité:	M = 100u + 10d + c + c – u = 99 (7k – 100c – 10d) +10d + 2c = 7 x 99k – 9900c + 2c – 990d + 10d = 7 x 99k – 9884c – 980d = 7 (99k – 1412c – 140d) Divisible par 7

Suite	Généralisation de la méthode à 73, 137, … Divisibilité par 7 Divisibilité par 11 Divisibilité par 13 Divisibilité – Index
Voir	Calcul mental – Index Formes polynomiales Géométrie – Index Nombres abondants  Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index
Site	Divisibility by 7, 11 and 13 – by Alexander Bogomolny
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi7D.htm