NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Nombres à motifs
Débutants Général	PANNUMÉRIQUES			Glossaire Général
INDEX Motifs Magie	Pannumériques	Nombres & Carrés PN	Produits PN
	123 456 789	381 654 729	PN & Repdigits
	Division	Progression Arithm.
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Explications >>> Exploration

PN: Pannumériques

NOMBRE 381 654 729

On sait que les nombres formés avec les neuf chiffres, dans un ordre quelconque, est divisible par 9 (car la somme des chiffres de 1 à 9 est divisible par 9). Mais ce pannumérique particulier exhibe une propriété particulière: tronqué à n chiffres, il est divisible par n.

Approche – Propriété singulière
Ce nombre contient tous les chiffres (il est pannumérique). Chaque nombre formé par les n chiffres à partir de la gauche est divisible par n. Ce nombre est unique. Pourquoi?	381 654 729 38 / 2 = 19 381 / 3 = 127 3816 / 4 = 954 38165 / 5 = 7633 381654 / 6 = 63609 3816547 / 7 = 545221 38165472 / 8 = 4770684 381654729 / 9 = 42406081
Ce nombre est un cas particulier des nombres polydivisibles ou nombres divisibles résistants.
Anglais: Why is 381, 654, 729 awesome? Pandigital zero-less number. The first digit is a multiple of one, the first two digits are multiple of two, the first three digits are multiple of three, and so on.

Explications

Un nombre formé de 9 chiffres.

Le nombre abcde, formé de 5 chiffres est divisible par 5.
Le seul chiffre possible est 5.

Les nombres formés d'un nombre pair de chiffres sont pairs.
Les autres sont impairs.

Le nombre abcd est divisible par 4.
Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.

Le nombre abcdefgh est divisible par 8 et aussi par 4, en fait.
Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.

On en déduit les valeurs possibles pour b et f.

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

5

f

g

h

i

a

2

c

4

5

6

g

8

i

Chiffres pairs dans une de ces quatre positions, dans un ordre à trouver

cd est divisible par 4, avec c impair

Seules possibilités d = 2 ou d = 6

Exemples: 12, 16, 32, 36, 52 …

gh est divisible par 4, avec g impair

Seules possibilités h = 2 ou h = 6

b = 4 ou b = 8

f  = 4 ou f  = 8

a

4/8

c

2/6

5

4/8

g

2/6

i

Le nombre abc est divisible par 3.
Examinons le cas où b vaut 4.
On déduit les valeurs possibles de a et c, sachant que la somme des trois chiffres est divisible par 3.

Le nombre abcdef est divisible par 6, donc par 3.

La somme de chiffres est divisible par 3.
La somme a + b + c est déjà divisible par 3.
La somme d + e + f doit être divisible par 3.

Hypothèse b = 4

a

4

c

2/6

5

8

g

2/6

i

a4c = 147 ou 741

(avec le chiffre 3, pas de possibilités)

a	b	c	d	e	f	g	h	i
1/7	4	7/1	2/6	5	8	3/9	2/6	3/9

def = 258 qui est divisible par 3

ou

def = 658 qui n'est pas divisible par 3

1/7

4

7/1

2

5

8

3/9

6

3/9

Le nombre abcdefg est divisible par 7.
Examinons les quatre cas =>

Le nombre abcdefgh est divisible par 8. Or ce n'est pas le cas! L'hypothèse b = 4 ne peut pas être retenue.

1472583   / 7        = 210369

1472589   / 7        = 210369,857

7412583   / 7        = 1058940,43

7412589   / 7        = 1058941,29

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1472583 / 8 = 184072,875  PAS BON!

En conséquence b vaut 8

Possibilités pour abc

Possibilités pour def

Le nombre abcdefg est divisible par 7.
Examinons tous les cas.
Un seul cas de divisibilité exacte par 7.

Nous tenons là, l'unique solution au problème posé

Nous savons que b = 8

a	b	c	d	e	f	g	h	i
a	8	c	2/6	5	4	g	2/6	i

a8c = 183 ou 381 ou 189 ou 981

d54 = 654 (254 n'est pas divisible pas 3)

1/3/9

8

1/3/9

6

5

4

g

2

i

1836547   / 7        = 262363,857

1836549   / 7        = 262364,143

3816547   / 7        = 545221

3816549   / 7        = 545221,286

1896543   / 7        = 270934,714

1896547   / 7        = 270935,286

9816543   / 7        = 1402363,29

9816547   / 7        = 1402363,86

3

8

1

6

5

4

7

2

9

Exploration avec non-pannumériques Nombres avec cette propriété singulière de divisibilité de ses tronqués.
Propriétés à noter. Le chiffre du centre est toujours 5. La somme des chiffres est divisible par 9 (donne 0 dans la preuve par neuf).	abcd5fghi a+b+c+d+e+f+g+h+i = 0 mod 9

Quels sont les nombres de neuf chiffres, pas forcément pannumériques. Tels que les nombres de n chiffres à partir de la gauche sont divisibles par n ? Il y a 416 possibilités. Dont, par exemple, 46 commençant avec 1.

123252561 le plus petit 123258168 … 381252249 381252969 381258567 381654729 … 987258321 987654564 le plus grand

Pas de tels nombres avec deux chiffres différents seulement. Ni avec trois chiffres consécutifs. Voici les quatre nombres avec 4 chiffres consécutifs. Ils sont plus nombreux avec cinq chiffres consécutifs ou une distance de 5 entre les deux chiffres extrêmes, notés avec un astérisque .

225252324 423252243 663654645 786858885 222456564* 243654642 345252645 363654243 465252246* 522456246* 543252564 543654324 444456648* 468456885* 468858645* 588456486* 645654888* 666858564* 768456567 846456885* 846858645* 888456888* 888858648* 588858966* 966858966*

Aucun palindrome Quelques uns presque-palindromes

abcd5dcba n'existe pas 123 654 321 465 258 564 546 852 645 888 456 888 942 456 249 1 6525256 4 8 4685864 5 9 6925296 6

Suite	Pannumériques et Repdigits
Voir	100 en chiffres et autres … Alphabet parlant Anagramme de chiffres Cryptarithme Équation - Glossaire Jeux Nombres en quiz Sudoku
DicoNombre	Nombre 381 654 729
Site	The nine digit problem and its solution Problem: Nine Digit Number Why 381,654,729 awesome? – Ken Danbrook - Vidéo
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/N3816547.htm