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BRÈVES de MATHS – Page 62 Un millier de faits et chiffres sur les nombres et les
mathématiques
En principe ces pages sont très abordables sans
connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre
quelconque favorisant la découverte de sujets multiples. |
Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics
1220. Vocabulaire des maths |
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Rigueur et précision Les mathématiques nécessitent de la rigueur pour
émettre des hypothèses, conduire un raisonnement et exprimer des conclusions. La condition de la réussite tient essentiellement
à la précision du vocabulaire utilisé. |
Où se renseigner sur ce site ?
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>>> Orthographe des nombres |
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1223.
Jargon du lycée
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Isobarycentre |
Centre de gravité Pour un objet mathématique ou un objet physique homogène (centre de
masse) |
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Complexe |
Un tout formé de deux nombres: un réel et un imaginaire Le couple représente les coordonnées d'un point du plan. |
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Déterminant |
Somme de produit dans le calcul des matrices |
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Discret |
Contraire de continu Valeur qui progresse par bonds |
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Discriminant |
Terme général pour la résolution des équations Sa valeur détermine la nature des racines |
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Ensemble
quotient |
On pourrait dire ensemble partagé selon les restes de la division |
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Groupe |
Ensemble d'éléments considéré comme un tout. Un objet mathématique qui possède des propriétés particulières. |
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Imaginaire |
Nombre annoncé par le nombre i tel que i² = –1 |
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Isomorphisme |
Correspondance un à un entre deux ensembles. |
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Matrice |
Tableau de nombres considéré comme un tout. |
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Norme |
Longueur d'un vecteur. |
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Tenseur |
Une généralisation des vecteurs. |
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Vecteur |
Une flèche représentant un déplacement ou une force |
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Suite en DicoMot Math
1224. Méthode de Newton |
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Actualités En
mi-2024, (publication 2025 par les
journaux) trois mathématiciens inventent un algorithme améliorant la méthode
de recherche de solutions dite de Newton en l'étendant aux équations
de degré élevé et multivariables. Comment fonctionne la méthode de Newton, en bref ? La fonction est représentée par la courbe rouge.
À l'œil, le minimum est évident, mais pour un ordinateur ? La méthode consiste à choisir (estimation,
intuition !) un point sur la courbe (vert). On cherche la courbe
simple (ici une parabole en vert) qui approxime au mieux la courbe dans le
voisinage du point. On note le point bas de la parabole et on
reporte ce point sur la courbe (en abscisse, pointillé noir). C'est un
nouveau point qui s'approche de la solution (vert) On recommence la procédure avec ce nouveau point
vert et ainsi de suite jusqu'à converger vers un point stable, le point cherché. |
Illustration
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1225. Nombres miroirs |
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Nombre miroir: nombre a
à la puissance b se terminant par les
nombres a suivi de b. Ils sont
une douzaine jusqu'à 10 000. Le nombre 499 est exceptionnel avec la répétition (a = b). |
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1226. Nombre 378 et ses facteurs |
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Somme des
chiffres du nombre = somme des facteurs du nombre (autant qu'ils sont) |
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Somme (presque !)des cubes du nombre = somme des cubes des facteurs
uniques. |
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1227. Dérivée Numérique |
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Dérivée numérique On sait
dériver les fonctions. Mais,
sait-on dériver des nombres? Oui, en utilisant la factorisation
des nombres. À quoi
cela sert-il ? Un autre outil à la disposition des chercheurs en théorie
des nombres. Notamment pour résoudre des conjectures qui résistent
encore. Règles de construction La
construction est simple: on donne la valeur 1 à tous les nombres premiers.
Puis, les nombres composés n = a∙b sont construits en utilisant la
règle (prime désigne la dérivée): n' = a ∙ b'
+ a' ∙ b |
Exemples Premier: 7 = 1 × 7 => 7' = 1 Carré: 4 =
2 × 2 => 4' = 2 × 2' + 2' × 2
= 2 × 1 + 1 × 2 = 4 Composé: 20 = 4 × 5
=> 20' = 4 × 5' + 4' × 5 = 4 × 1 + 4 × 5 = 24 Calcul direct avec un exemple
La dérivée est égale au nombre multiplié par la
somme des fractions où chacune est l'exposant divisé par le facteur. Ainsi:2²
devient 2/2 et 3² devient 2/3. |
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1228. Nombre 364 |
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Somme de triangulaires Le nombre
364 est la somme des douze premiers nombres triangulaires. Le nombre
triangulaire de rang n est la somme de tous les nombres de 1 à n. Chaque
ligne du tableau est l'un d'entre eux avec la somme à droite. Ainsi T3
= 1 + 2 + 3 = 6. En
additionnant tous ces nombres, la somme est 364. Somme des douze premiers nombres
triangulaires
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Comptine: les douze jours de Noël Chaque
couplet énumère un objet de plus que le précédent. Douzième
couplet: Le douzième jour de Noël Décompte En
comptant les objets énumérés le long des douze couplets, la comptine compte
364 objets. |
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Chansons et poésies |
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1229. Intersections dans l'octogone |
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Un
octogone quelconque possède 20 diagonales.
Ces diagonales se croisent à l'intérieur de l'octogone. Dans le cas général,
il y a 70 points d'intersections. Avec un
octogone régulier, les diagonales se
croisent parfois en un même point. C'est le cas des points rouges sur la
figure. Dans ce cas, il y a seulement 49 points
d'intersections. Autant le
calcul dans le cas des polygones quelconques est simple (quantité de
combinaisons de 4 parmi n), autant il est très délicat dans le cas du
polygone régulier. La formule est extrêmement compliquée ! |
Octogone régulier et intersections
des diagonales
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Octogone – Diagonales |
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Brèves Géométrie – Index |
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Pour en savoir plus |
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Intersections dans les polygones |
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Régions dans les polygones |
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1230. Calcul d'une somme trigonométrique |
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Méthode du changement de monde Comment
s'y prendre pour calculer une telle somme de sinus au carré ? Oui, cela
n'est pas évident ! Comme on
le pratique souvent en maths, la solution consiste à changer de monde
(principe du levier mathématique). En
l'occurrence: à passer dans le mondes des exponentielles pour y réaliser la
partie calculatoire. Pour cela, on utilise les formules d'Euler. Le retour
au monde trigonométrique s'effectue en inversant les formules d'Euler. |
Ce qu'il faut trouver
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Principe du calcul
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>>> Somme
de produits |
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Brèves Calculs – Index |
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Pour en savoir plus |
>>>
Calcul de somme de sinus >>>
Calcul de somme de sinus au carré |
>>>
Formules d'Euler >>>
Principe du levier mathématique |
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1231. Nombres et leurs chiffres |
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Quels
sont les relations de divisibilité entre
un nombre donné et ses chiffres ? |
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Il est
divisible par chacun de ses chiffres (nombre
nu) |
224 = 2 × 112 = 4 × 56 |
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Idem avec chiffres tous différents (Lynch-Bell) |
248 = 2 × 124 = 4 × 62 = 8 × 31 |
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Idem mais avec un reste de 1 (Chiffres mod 1) |
289 = 2 × 144 + 1 = 8 × 36 + 1 = 9 × 32 + 1 |
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Il est
divisible par les chiffres des extrémités (fourchette) |
104275 = 1075 × 97 |
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Il est
divisible par la somme de ses chiffres (Harshad) |
198 = (1+9+8) × 11 = 18 × 11 |
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Il est
divisible par le produit de ses chiffres (Zuckerman) |
384 = (3×8×4) × 4 = 96 × 4 |
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Il est
divisible par la somme et produit du
carré ses chiffres (nombre
insolite) |
122 121 216 = 56 × 2 180 736 = 9 216 × 13 251 |
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Nombres fourchettes |
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Brèves Types de nombres – Index |
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Pour en savoir plus |
>>>
Nombres de Harshad et autres |
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Nombres et chiffres – Index |
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1232. Cycle 123 |
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Propriété du nombre 123 Ce nombre comporte:
Ces nombres pris dans l'ordre recomposent le
nombre initial. |
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Cycle 123 Chaque nombre est transformé en un autre nombre
composé de la façon suivante:
Le procédé est répété jusqu'à obtenir le nombre
123, toujours présent. |
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>>> Cycle Syracuse ou Collatz ou 3x + 1 |
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Cycle 123 |
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Cycles – Index |
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1233. Triangle de Pascal et 11 |
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Puissances de 11 et triangle de
Pascal Prenez les lignes du triangle Pascal, ce sont les
puissances successives de 11, à condition de calculer
chaque chiffre en reportant les dizaines.
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Triangle de Pascal – Nombres 1, 3, 3, 1 |
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Triangle de Pascal et puissances de 11 |
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1234. Quel chemin ? |
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Droit ou oblique ? Il s'agit de compter les points d'un quadrillage. Deux possibilités:
Comparaison ? |
Trajet droit On remarque immédiatement qu'il s'agit de la
somme des nombres impairs, laquelle est égale à un carré. Trajet oblique Cette fois, on reconnait la somme des nombres
successifs, laquelle est un nombre triangulaire; la somme vaut ½ n(n + 1). Pour parcourir l'ensemble des points, il faut
poursuivre avec un triangle plus petit d'une unité. |
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Calcul du cas oblique
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Somme des nombres impairs |
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1235. Peinture à deux |
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Question Un mur est peint en 6 heures par Albert et en 3
heures par Bernard. Ils se mettent à peindre ensemble. En combien de
temps peignent-ils le mur ? Commentaires À deux, il faudra moins de temps que le plus
rapide, donc moins de 3 heures. Bernard, le plus rapide, va deux fois plus vite
qu'Albert. Chaque fois qu'Albert peint une tranche, Bernard peint deux
tranches. |
Illustration
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Résolution par raisonnement En une heure, quel est le travail réalisé ? Ce
sont des fractions de mur: 1/6 pour Albert et 1/3 par Bernard. |
À deux, en une heure, ils peignent la somme 1/6 +
1/3 = 1/2. Donc la moitié du mur. Il leur faudra donc 2 heures pour peindre le mur complet. |
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Problèmes de vitesse – Index |
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1236. Poules et œufs en demis |
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Énigme Le fermier facétieux constate qu'en moyenne: une
poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Il demande plein de
malices: combien pondent trois poules en trois jours ? Piste Comprendre que si on double le nombre de poules,
il y aura deux fois plus d'œufs dans le même temps. Si on double le temps, il y aura deux fois plus
d'œufs avec le même nombre de poules. Si on double la quantité de poules et la quantité
de jours, il y aura quatre fois plus d'œufs. |
Solution Un tableau permet de suivre cette relation
bilinéaire.
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dans le panier |
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Brèves Énigmes – Index |
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Énigmes et Jeux – Index |
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1237. I |
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