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Édition du: 13/05/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Structures algébriques

 

Théorie des nombres

 

Types de nombres

Structures algébriques

Débutant

Loi de composition

Table de Cayley

Relation binaire, équivalence

Groupe

Classes de congruence

Ensemble quotient

N = 1 mod k (k = 2, 3,…)

Groupe cyclique

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

ENSEMBLE QUOTIENT

 

Mot mystérieux qui, abordé trop rapidement, peut dérouter, alors qu'il s'agit d'une notion des plus simples à comprendre.

Cette notation indique simplement que l'on considère l'ensemble des nombres de 0 à k et on le note Zk.

Ces nombres sont tout simplement les restes possibles de la division par k. En fait, l'ensemble quotient oublie les quotients et ne garde que les restes de la division !

Il s'agit donc d'un système de rangement des objets de même propriétés en familles pour, par la suite, ne traiter qu'un seul représentant par famille.

       

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Notion d'ensemble quotient

>>> Ensemble quotient – Définition et exemples

>>> Ensemble quotient – Formalisme mathématique

>>> Deux chemins

 

Débutants

Ensemble

 

Glossaire

Ensemble

Anglais: Quotient set, équivalence class

 

Jargon mathématique

Au cours de la scolarité, il est des mots qui n'évoquent pas grand-chose ou même qui induisent des idées fausses:

*      Primaire: fraction

*      Secondaire: vecteur

*      Économie: débit et crédit; passif et actif

*      Supérieur: ensemble quotient, entropie

Voir Jargon

 

 

Approche

haut

 

Division par 3

Sur ce tableau, on présente la division de N par 3 avec son quotient Q et son reste R (division euclidienne).

On observe que le reste boucle sur {0, 1 et 2}.
Et on note: N3 = {0, 1 , 2}

On peut donc écrire un nombre sous la forme:
N = 3Q + {0, 1 ou 2}.

Ils sont donc de trois types, on dit de trois classes.

 

L'idée est de considérer un nombre N uniquement par son reste en oubliant le quotient. On note, par exemple: 10 ≡ 1 mod 3 (10 donne 1 lorsque divisé par 10; on lit: 10 est égal à 1 modulo 3; ou encore, 10 est congru à 1 mod 3)

 

  

 

Division par 2

Les nombres sont alors partagés en deux classes selon que le reste de la division par 2 est 0 ou 1.

Ce sont les nombres pairs et les nombres impairs.

 

 

Binaire

 

Division par 12

Oui ! Tout le monde compte les heures dans l'ensemble quotient de la division par 12.

Par exemple: 14 heures devient 2 heures, parce que 14 divisé par 12, reste 2.

    

 

 

Heures sur l'horloge

 

 

Notion d'ensemble quotient

haut

 

Si on prend l'ensemble N des nombres entiers, la relation R = "divisible par 2" séparent les nombres pairs des nombres impairs.

 

L'ensemble des nombres est partitionné en deux classes d'équivalence: l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs.

 

L'ensemble, ainsi partitionné (partagé, divisé) par R, est l'ensemble quotient  de N par R.

 

 

Avec les nombres entiers N (ou les nombres relatifs Z), chaque classe porte le nom du reste auquel elle appartient.

 

Avec la division par 4, il y a quatre classes (boites) dans l'ensemble quotient par 4. On note:
 

 

 

 

 

Pour encore mieux comprendre, il est possible de représenter l'ensemble quotient en tant qu'horloge.

Représentation cyclique où les nombres se trouvent enroulés autour du cadran et les grands nombres se retrouvent automatiquement sur leurs représentants.

 

 

 

    

 

Dans l'ensemble infini  des nombres entiers relatifs, on ne s'intéresse qu'aux restes possibles de leur division par n, on obtient l'ensemble quotient noté:  qui comprend n éléments.

 

Chaque nombre a une image (un correspondant) dans ce nouvel ensemble.
Intérêt: les restes sont conservés suite à une addition ou une multiplication.

 

L'ensemble  muni des deux opérations  est un anneau commutatif.

 

Anglais: Ring of integer modulo n denoted:  .

Voir Brève 884

 

 

 

Ensemble quotient – Définition et exemples

haut

 

Une relation d'équivalence permet de regrouper des éléments similaires car partageant les mêmes propriétés. Comme les nombres divisibles par 2 ou par 3.

 

L'ensemble source est alors partagé en plusieurs sous-ensembles. Chaque portion est une classe d'équivalence. Avec cette partition, l'ensemble de départ qui contient les classes devient l'ensemble quotient.

 

L'ensemble de départ énumérant tous ses éléments et celui faisant état d'une partition (l'ensemble quotient) sont les mêmes. Sauf à composer des ensembles entre eux.

 

Les enfants en rangs par deux sont sur deux files: ceux à numéros pairs et ceux à numéros impairs.

 

L'assemblée des enfants est répartie en deux classes, les pairs et les impairs.

L'assemblée devient l'ensemble quotient pair/impair.

Le quotient E/𝓡 d’un ensemble E par une relation d’équivalence 𝓡 est par définition l’ensemble des classes d’équivalence modulo 𝓡.

 

L'ensemble quotient  de E par est le sous-ensemble dont les éléments partagent les mêmes propriétés .

 

On appelle ensemble quotient de E par la relation d'équivalence , l'ensemble des classes d'équivalence de E modulo

  

 

Exemple

De la même couleur sur l'ensemble des feutres de ma trousse.

 

 

Il y a quatre (par exemple) classes d'équivalence pour cette relation : les rouges, les bleus, les jaunes et les  noirs

On forme ainsi l'ensemble quotient (quatre  couleurs) .

 

Exemple

Divisible par 2 sur l'ensemble des entiers.

 

Il y a deux classes d'équivalence pour cette relation :

*      l'ensemble des entiers pairs, et

*      l'ensemble des entiers impairs.

On forme ainsi l'ensemble quotient (pair/impair) .

  

 

Exemple

Parallélisme sur l'ensemble des droites.

  

Relation d'équivalence dont les classes sont les directions.
Les classes sont alors en quantité infinie.

 

Exemple

Construction de l'ensemble Q (les fractions) à partir de Z (les relatifs):

Prendre l'ensemble des couples de Z×N*,

La relation d'équivalence (a, b) R (c, d) lorsque ad – bc = 0 ,

Du fait de cette égalité pour les fractions, les classes qui en résultent sont celles des fractions semblables dont la fraction simplifiée et la représentative (la forme canonique).

Ensemble quotient qui en résulte: l'ensemble quotient de Z en classes de fractions équivalentes. Son cardinal (quantité d'éléments) est bien entendu infini.

 

Voir Congruences / Modulo

 

 

Ensemble quotient – Formalisme mathématique

haut

 

Décortiquons la définition mathématique de l'ensemble quotient.

 

 

La relation d'équivalence sur l'ensemble E est notée:
Autrement-dit: la règle qui définit le partage de l'ensemble.
En détail: l'ensemble (E) partagé ou partitionné (/) par la relation (~).

 

 

La classe d'équivalence est notée:
La classe d'équivalence [x] d'un élément x de E est l'ensemble des y de E tels que x ~ y.
Autrement-dit: [x] est le nom de la famille (de la classe) de tous les nombres partageant la même propriété.
Formellement:     

 

 

 

La classe [x] est un élément qui appartient à l'ensemble E partitionné par la relation (~).

 

 

Il est tel (barre verticale) que x appartient à l'ensemble E de départ.
Sachant que x a pour correspondant (image ou représentant) [x].
Autrement-dit: x, transformé par la relation (~), atterrit dans la famille (la classe) [x].

 

Un ensemble où tous les représentants sont présents est appelé système de représentants des classes.

   

 

La transformation (l'application) de x en [x] s'appelle la projection canonique.

 

 

Propriété

On note que tout élément de E à un représentant: transformation surjective.

En revanche chaque élément [x]  du système possède généralement de multiples antécédents dans E: transformation non-injective.

Rappel: tout sur cette page n'est valable que si la relation d'équivalence est binaire, réflexive, symétrique et transitive.

 

 

Deux chemins

haut

 

Reprenons la représentation classique d'une application f qui envoie un élément d'un ensemble de départ dans un ensemble d'arrivée.

La flèche rouge montre comment, par exemple, le nombre 9 est associé au nombre 1 (même reste dans la division par 4).

 

La mise en place de l'ensemble quotient qui partage l'ensemble des nombres en quatre montre un autre itinéraire (vert).

Le nombre 9 fait partie de la classe [1] qui pointe vers le représentant de la classe le nombre 1 dans l'ensemble d'arrivée.

  

 

Vous trouverez ce schéma dans votre cours de maths.

Il représente ni plus ni moins que celui du dessus.

Les trois applications sont nommées f, [f] et π.

 

 Bilan

Avec ces indications, vous avez le vocabulaire et les notions essentielles pour aborder des cours formels. Voir liens en fin de page.

 

 

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Voir

*      Numération binaire

*      Dualité

Livre

*      Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007 

Sites

*      Ensemble quotient – Wikipédia

*      Relation d'équivalence – ChronoMath

*      Ensembles quotients – Gaétan Chenevier – Cours 11 pages

*      Quotient set  - Delta Function

*      Equivalence Classes – Ted Sundstrom

Vidéo

*      Ensembles quotients – Maths adultes

                                   

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