Théorème des points milieux

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TRIANGLE et DROITES de partage

Voici trois théorèmes importants concernant des droites de partage dans le triangle. Avec démonstrations. En prime la démonstration du joli théorème des parallélogrammes liant les côtés et les diagonales.

Théorème du point milieu
Le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle: est parallèle au troisième côté et sa longueur est moitié de celle de ce troisième côté. AB // A'B' [AB] = 2 [A'B'] Anglais The straight line connecting midpoints of two sides of a triangle: is parallel to the third side of the triangle and is of half of the length of the third side of the triangle.
Conséquence pour le triangle Les points D, E et F sont les milieux des côtés. Les quatre petits triangles sont isométriques et homothétiques au grand triangle dans un rapport 1/2. Les deux parallélogrammes ADEF et BEDF sont isométriques et ont la même aire, égale à la moitié de celle du grand triangle.	Les droites qui passent par les points milieux sont parallèles au troisième côté.

Voir Trapèze

Thalès

D'une manière générale le théorème de Thalès affirme que: dans un triangle, une parallèle à un côté engendre des proportinalités et réciproquement. Dans le cas du point milieu, la proportionalié est égale à ½.

Démonstration du théorème du point milieu
Données Triangle quelconque ABC. A' et B' les milieux de AC et BC. Ce qu'il faut démontrer Le segment A'B' est parallèle à AB et sa longueur est moitié de celle de AB. Démarche On construit le point D: AD est la parallèle en A à BC; D est le point d'intersection de AD et A'B'. Nous allons montrer que ABB'D est un parallélogramme. Pour cela nous allons passer par l'égalité des triangles T1 et T2 (que nous voyons être au sein des diagonales d'un probable parallélogramme AB'CD).	On note que D est le symétrique de B' par rapport à A'. Et aussi que les quadrilatères ABB'D et AB'CD sont des parallélogrammes.
Intuition? Comme souvent en math, ici utilise une sorte de truchement, de marche-pied pour aller plus loin: l'idée de construire le point D symétrique de B'. Comment avoir l'idée de dessiner ce point qui va faire apparître deux parallélogrammes ayant un côté commun(AD)? Intéressant car de la connaissance des mesures de l'un on rebondira pour connaître les mesures de l'autre. C'est l'intuition, nourrie par une bonne connaissance des propriétés des objets et déclenchée par les suggestions que nous délivent la lecture de la figure. Ici, droites parallèles nous amène à parallélogramme.
Démonstration (niveau collège) Dans les triangles T1 et T2: A' est le milieu de AC; les côtés A'C et A'A ont même longueur; les angles A3 et A4 sont opposés sur les droites AC et DB'; et AD est parallèle à BC; les angles A1 et A2 sont alternes-internes.		A'C = A'A Angles: A3 = A4 Angles: A1 = A2
Outil: cas de congruence des triangles Deux triangles ayant un côté de même longueur et deux angles égaux sont congrus (ou égaux).		Triangles: T1 = T2
Conséquence: toutes les autres mesures des deux triangles sont égales.		CB' = AD
Or B' est le milieu de BC Et AD est parallèle à BC.		CB' = BB' = AD BB' // AD
Outil: caractérisation d'un parallélogramme Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme.		ABB'D est un parallélogramme
Conséquence: les deux autres côtés du parallélograme sont parallèles et égaux.		AB = DB' AB // DB'
Les triangles T1 et T2 étant congrus.		A'D = A'B' AB = DB' = 2A'B'

Théorème de la médiane ou d'Apollonius

Un triangle quelconque ABC

Un des médianes CM

Le théorème de la médiane dit:

a² + b² = 2 (m² + d²)

a² + b² = 2 m² + ½ c²

Anglais

Median length, Apollonius' Theorem: in any triangle, the sum of the squares of any two sides is equal to twice the square on half the third side together with twice the square on the median which bisects the third side.

Note: bisect : qui coupe en deux (pas forcément en parts égales).

Voir Démonstration / Aires des triangles sous médiane

Démonstration par coordonnées
Données Triangle quelconque ABC. M le milieu de AB. Ce qu'il faut démontrer a² + b² = 2 (m² + d²) Démarche Système d'axes orthonomé en M. Calcul des longueurs en utilisant le théorème de Pythagore. Démonstration
Pythagore à l'oeuvre	MC² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y² = m² AC² = (x + d)² + (y – 0)² = x² + 2xd + d² + y² = b² BC² = (x – d)² + (y – 0)² = x² – 2xd + d² + y² = a²
Somme des deux dernières	a² + b² = 2x²+ 2d² + 2y² = 2 (x² + y² + d²)
En remplaçant	a² + b² = 2 (m² + d²)

Règle du parallélogramme

Le théorème de la médiane nous fournit l'occasion d'étendre la propriété aux parallélogramme. En effet:

Nous venons de démontrer que:

a² + b² = 2 (m² + d²)

En doublant:

2a² + 2b² = 4m² + 4d²

= 4(d₁ / 2) ² + 4(d₂ / 2) ²

= d₁² + d₂²

Règle (en fait théorème)

Dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

Voir Règle du parallélogramme illustrée / Règle du parallélépipède

Théorème de Stewart
Généralisation du théorème de la médiane à un point quelconque du troisième côté; autrement dit à toute cévienne. a²d + b²d' = c (m² + dd') Notez que: le dernier terme cdd' est un nombre entier.
Un triangle quelconque ABC avec BC = 3 unités Un point D sur BC tel que BD = 2 unités. Calculer AC² + 2AB² – 3AD. Notre théorème s'écrit: 1 x AC² + 2 x AB² = 3 (AD² + 1 x 2) AC² + 2 AB² = 3AD² + 6 AC² + 2 AB² – 3AD² = 6 Un application simple qui montre que cdd' = 3 x 2 x 1 = 6 est un nombre entier.

Voir Démonstration

Application du théorème de Stewart

haut

Construction

Un triangle quelconque ABC.

Deux cercles tangents entre eux et chacun tangent à deux côtés du triangle.

Quelle est la longueur t de la tangente interne CD ?

Pistes

Pour connaitre la longueur de CD, le théorème de Stewart est demandé.

Les segments issus d'un point quelconque et joignant les points de tangence ont même longueur.

Les notations u, v, w et z reflètent ces égalités.

Calculs

Calcul du rayon des cercles

Voir Rayon du cercle inscrit

Illustration

Démonstration du théorème avec la loi des cosinus
Cette loi des cosinus établit cette formule entre les trois côtés (a, b , c) du triangle quelconque.
Apliquée aux deux angles supplémentaire en M pour lesquels cos(A2) = – cos(A1)
En égalisant et en développant.
avec c = d + d'