|
CARRÉS et TRIANGLES 1) Aire du carré inscrit dans un triangle isocèle? Exemple de calcul simple mais qui mérite
attention. Ne pas se perdre dans les facteurs 2, par
exemple! >>> 2) Quelle est la taille
maximale d'un triangle positionné à l'intérieur d'un carré? Ne pas s'embarquer dans des calculs
compliqués! >>> 3) Un carré d'aire maximale
dans un triangle à choisir mais d'aire unitaire >>> 4) Un triangle d'aire
minimale dans un repère >>> |
Anglais: Largest
inscribed square
|
||
Données
-
base de longueur a -
côtés de longueur b -
h -
-
côté de longueur c -
-
un triangle en haut formé de deux triangles rectangle
d'aire T1 -
deux triangles rectangles en bas d'aire T2 |
|
|
Problème Connaissant
les longueurs a et b des côtés du triangle, trouvez la longueur c du
côté du carré inscrit. |
Principe du calcul Il consiste à égaler l'aire du grand
triangle à la somme des aires des figures qui le compose: le carré et les 2 x
2 triangles rectangles. |
|
Ce
problème fait partie de l'héritage arabe. Il
a été décrit par le célèbre mathématicien Al-Khwarizmi (780-850). Cité par Ahmed Djebbar – L'algèbre
arabe, genèse d'un art - Vuibert |
||
Merci à Gilbert Bosmans
|
|||
Étapes calcul |
Littér |
Numérique |
|
|
h² = b² – ( |
h² = 50² – 30² = 1600 h = 40 |
|
|
2T = ½ h x |
2T = ½ x 40 x 60 = 1200 |
|
|
2T1 = ½ (h – c) x c = hc/2
– c²/2 |
2T1 = 20c – c²/2 |
|
|
2T2 = 2 { ½ c x ( = |
2T2 = 30c – c²/2 |
|
|
C |
|
|
|
2 T = C h h h |
1200 = c² + 20c – c²/2 + 30c – c²/2 1200 = 20c + 30c =
50 c c = 1200 / 50 = 24 |
|
|
|
c = 40 x 60 / (40
+ 60) = 24 |
|
|
||
a < 1000 b < 1000
|
|
|
|
||
Le plus
grand carré dans le triangle équilatéral de notre
formule au triangle équilatéral Avec la hauteur h =
Comparaison Le
rectangle construit à partir des perpendiculaires issues des points milieux
de deux côtés conduit à une aire très proche du maximum. L'écart est
seulement de 0,001, soit 5 ‰. |
|
|
Le plus
grand triangle équilatéral dans le carré C'est un
triangle incliné de 15° et dont le côté mesure: Et l'aire: Note: |
|
|
Voir Angle
de 15°
|
||
Son aire est égale à la
moitié de celle du carré.
Note: le plus grand carré dans un triangle d'aire
unité est un problème qui n'a pas de sens. Dans un triangle très effilé, il
n'y aurait même pas la place pour un tout petit carré. >>> |
L'aire du triangle est le demi-produit des longueurs de d'un côté et
de la hauteur attenante. |
|
Cas de gauche: tout triangle
dessiné à l'intérieur sera toujours plus petit qu'un triangle inscrit. Il
suffit de le faire grossir par homothétie (zoom)
pour toucher l'un des côtés du carré. Cas de droite: le triangle
est inscrit, ses sommets sont situés sur les côtés du carré. Il suffit de
faire glisser l'un des sommets vers un sommet du carré pour faire grossir le
triangle. Cas du bas:
Considérons le cas du triangle inscrit donc un sommet est commun avec le carré.
Pouvons-nous le faire grossir au-delà du demi-carré? |
L'aire du triangle grandit lorsqu'on plaque ses sommets sur les côtés
du carré, et même plus si l'un des sommets est sur un sommet du carré. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Calculs Aire triangle: 2 x ½ x 1 x 1 = 1 Aire du carré: |
|
|
|
||
|
|
|
Suite |
|
Voir |
|
Livre |
|
Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/Carretrg.htm |