NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/06/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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TRIANGLE de HEILBRONN

Problème de géométrie qui consiste à placer des points pour maximaliser une surface. Pas si simple! Objet de recherche par ordinateur.

Hans Heilbronn (1908-1975), mathématicien allemand, naturalisé canadien.

TRIANGLE de HEILBRONN
Problème Répartir n points dans un carré, tels que le triangle le plus petit soit le plus grand possible. n est supérieur à 2. La figure est un carré ou un autre polygone, ou un cercle. Définition Les nombres de Heilbronn sont l’aire de ces triangles dans un carré unité et selon la quantité de points.

Décompte des triangles

n = 3 Configuration quelconque Configuration optimale Un seul triangle possible et son aire est égale à ½ n = 4 Décompte des triangles (2 + 2 = 4) Configuration optimale Quatre triangles possibles et l'aire maximale est égale à ½ n = 5 Décompte des triangles (6 avec A, 3 avec B et 1 avec C) Configuration optimale Dix triangles possibles et l'aire maximale est égale à 3 / 9 n = quelconque Quantité de triangle T = n (n – 1) (n – 2) / 6

Voir Dénombrement

Nombres de Heilbronn pour le carré
0,1924 = 3 / 9	5^e nombre de Heilbronn.
0,125	6^e nombre de Heilbronn.
0,0838	7^e, très difficile à calculer.
0,0723 = (13-1)/36	8^e
0,0548 = (965 – 55)/320	9^e
1 / n²	n^e , hypothèse de Heilbronn pour n grand.
1 / n	amélioration par Roth en 1951
log n / n² et 1 / n^8/7	Limites trouvées en 1982.
1 / n^3	Cas de points disposés au hasard : Démontré en 1999 par Paul Vitanyi, Ming Li & Tao Jiang

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Suite	Compter les triangles
Voir	Carré dans le triangle, construction astucieuse Carrés Cercle Droite Géométrie – Index Jeux – Index Nombres triangles Polygone Triangle – Index
Site	Heilbronn Triangle Problem – Wolfram MathWorld Comellas and Yebra avec coordonnées des points.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/Heilbron.htm