NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/04/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombre triangle et billard: T₅ = 15 boules

Caractéristiques

Famille

Nombre / Figuré

Définitions

NOMBRE TRIANGULAIRE ou NOMBRE TRIANGLE

Nombre formé à partir d'un triangle (triangle équilatéral ou isocèle).
Avec une base augmentée de l'unité pour chaque triangle plus grand.

Formule

(n² + n) 2

=

n (n + 1) 2

Un qui se fait remarquer

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Fonction génératrice

Propriétés

L'unité des nombres triangulaires suit le motif: impair, impair, pair, pair.

Aucun nombre triangulaire, sauf 3, n'est premier

En effet, parmi les deux facteurs n et n+1, l'un d'eux est pair (disons: 2k) et c'est lui qui est divisé par 2 pour donner:

Dans l'un ou l'autre cas, T_n est un nombre composé à deux facteurs.

Un nombre triangulaire est divisible par 3 ou par neuf avec un reste de 1 (racine numérique 1, 3, 6 ou 9, preuve par neuf).

Le nombre triangulaire de rang n est la somme des nombres entiers de 1 à n.

Un nombre triangulaire est le double d'un nombre pronique.

Le carré d'un nombre triangulaire est égal à la somme des cubes des nombres de 1 à n.
Exemple: T₃² = (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³ = 36

La somme des nombres triangulaires successifs forment les nombres tétraédriques.

Tout nombre entier est la somme de trois nombres triangulaires.

La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un carré.

Tous les nombres parfaits sont triangulaires (en fait ce sont les nombres parfaits pairs, mais ce sont les seuls que l'on connaisse).

Racine triangulaire

Delta n est la racine triangulaire par défaut de n, c'est-à-dire le plus grand entier p tel que:

Voir Racine triangulaire

Anglais

Triangular number

Programmation

Direct

Via définition d'une fonction

Voir Programmation – Index

Calcul de la formule

Sachant que la suite des nombres triangulaires est: 1, 3, 6, 10, 15, 21

Quelle est la formule définissant chacun ?

Les écarts sont en progression arithmétique. Il s'agit d'une fonction quadratique; cad. du deuxième degré en ax² + bx + c.

Écrivons trois relations avec les nombres connus et résolvons ce système de trois équations à trois inconnues.

Résolution du système d'équations

(1)	1²a	+ 1b	+ c	= 1
(2)	2²a	+ 2b	+ c	= 3
(3)	3²a	+ 3b	+ c	= 6
(4)=(2)-(1)	3a	+ b		= 2
(5)=(3)-(2)	5a	+ b		= 3
(6)=(5)-(4)	2a			= 1
	a			= 1/2
		b		= 1/2
			c	= 0

Bilan

Voir Brève de Maths 490

Liste
n P 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 21 7 28 8 36 9 45 10 55 11 66 12 78 13 91 14 105 15 120 16 136 17 153 18 171 19 190 20 210 21 231 22 253 23 276 24 300 25 325	n P 26 351 27 378 28 406 29 435 30 465 31 496 32 528 33 561 34 595 35 630 36 666 37 703 38 741 39 780 40 820 41 861 42 903 43 946 44 990 45 1 035 46 1 081 47 1 128 48 1 176 49 1 225	n P 50 1 275 51 1 326 52 1 378 53 1 431 54 1 485 55 1 540 56 1 596 57 1 653 58 1 711 59 1 770 60 1 830 61 1 891 62 1 953 63 2 016 64 2 080 65 2 145 66 2 211 67 2 278 68 2 346 69 2 415 70 2 485 71 2 556 72 2 628 73 2 701 74 2 775	n P 75 2 850 76 2 926 77 3 003 78 3 081 79 3 160 80 3 240 81 3 321 82 3 403 83 3 486 84 3 570 85 3 655 86 3 741 87 3 828 88 3 916 89 4 005 90 4 095 91 4 186 92 4 278 93 4 371 94 4 465 95 4 560 96 4 656 97 4 753 98 4 851 99 4 950 100 5 050 …

Variétés
Nombre triangulaires palindromes T10 = 55 T11 = 66 T18 = 171 T34 = 595 T36 = 666 T77 = 3003 T109 = 5995 T132 = 8778 T173 = 15051 T363 = 66066 …	Nombres triangulaires carrés T1 = 1 = 1² T8 = 36 = 6² T49 = 1 225 = 35² T288 = 41 616 = 204² T1681 = 1 413 721 = 1 198² T9800 = 480 024 900 = 6 930² T57121 = 1 631 432 881 = 40 391² …

Triangle de Pascal – Coefficient du binôme
Les nombres triangulaires sont les nombres de la colonne n°2 du triangle de Pascal La colonne n°3 donne les nombres tétraédriques: somme de tous les triangulaires des rangs précédents Exemple: 1 + 3 + 6 = 1 Extrait du triangle de Pascal Ces nombres sont le développement des puissances successives du binôme (x + y) Ils donnent la quantité de combinaisons de p objets parmi n Les nombres triangulaires sont en fait la quantité de combinaisons de 2 objets parmi n C'est notamment la quantité de segments qui joignent n points non alignés
Tn = C^2n+1	Exemples T3 = C^24 = 6 T10 = C^211 = 55

Somme des nombres triangulaires
Exemple de lecture: ligne 7 et colonne 16: 760 La somme des nombres triangulaires de 7 à 16 est égale à 760.
La diagonale liste les nombres triangulaires. La première ligne forme les nombre tétraédriques. Le nombre 10 est les deux à la fois. Nombres somme de triangulaires (les 320 nombres ordonnés jusqu'à 2000) 0, 1, 3, 4, 6, 9, 10, 15, 16, 19, 20, 21, 25, 28, 31, 34, 35, 36, 45, 46, 49, 52, 55, 56, 64, 66, 74, 78, 80, 81, 83, 84, 85, 91, 100, 105, 109, 110, 116, 119, 120, 121, 130, 136, 144, 145, 153, 155, 161, 164, 165, 166, 169, 171, 185, 190, 196, 199, 200, 202, 210, 216, 219, 220, 225, 230, 231, 235, 244, 251, 253, 256, 266, 274, 276, 280, 282, 285, 286, 289, 290, 300, 308, 316, 324, 325, 329, 335, 340, 344, 351, 354, 360, 361, 363, 364, 371, 378, 394, 395, 399, 400, 406, 409, 420, 435, 440, 441, 445, 451, 452, 454, 455, 460, 465, 476, 484, 496, 504, 514, 515, 525, 528, 529, 530, 540, 550, 556, 559, 560, 561, 571, 576, 580, 595, 596, 605, 624, 625, 630, 631, 645, 650, 651, 660, 666, 670, 676, 679, 680, 683, 685, 694, 696, 703, 724, 729, 732, 741, 749, 760, 770, 776, 780, 781, 784, 796, 802, 804, 806, 812, 815, 816, 820, 829, 841, 849, 854, 860, 861, 875, 884, 885, 900, 901, 903, 913, 920, 934, 946, 949, 955, 959, 961, 965, 966, 968, 969, 970, 975, 976, 980, 990, 1020, 1024, 1035, 1044, 1054, 1055, 1056, 1060, 1081, 1084, 1085, 1089, 1091, 1105, 1110, 1120, 1128, 1130, 1135, 1136, 1139, 1140, 1154, 1156, 1160, 1165, 1176, 1208, 1210, 1211, 1219, 1225, 1246, 1252, 1254, 1270, 1274, 1275, 1295, 1296, 1306, 1310, 1316, 1320, 1326, 1329, 1330, 1331, 1344, 1354, 1369, 1375, 1385, 1396, 1407, 1420, 1444, 1456, 1460, 1464, 1484, 1485, 1489, 1505, 1520, 1521, 1530, 1536, 1539, 1540, 1551, 1569, 1570, 1585, 1595, 1600, 1606, 1620, 1630, 1631, 1651, 1660, 1681, 1684, 1687, 1715, 1736, 1738, 1740, 1751, 1760, 1761, 1764, 1767, 1770, 1771, 1784, 1785, 1786, 1802, 1804, 1845, 1849, 1859, 1883, 1891, 1895, 1904, 1920, 1924, 1936, 1940, 1946, 1956, 1968, 1989, 1999. En rouge les sommes doubles

Accès à chacun de ces nombres par le DicoNombre /

Somme de 3 triangulaires / Égalité de sommes de 3 Triangulaires

Quadruplet de triangulaires

Une paire de nombres triangulaires dont la somme comme la différence sont aussi des nombres triangulaires:

15, 21, 36, 6

105, 171, 276, 66

378, 703, 1081, 325

780, 990, 1770, 210

1485, 4186, 5671, 2701

2145, 3741, 5886, 1596

5460, 6786, 12246, 1326

7875, 8778, 16653, 903

21945, 38781, 60726, 16836

29403, 30628, 60031, 1225

37950, 219453, 257403, 181503

61425, 203203, 264628, 141778

61425, 416328, 477753, 354903

70125, 77028, 147153, 6903

105570, 188191, 293761, 82621

Suite et programmation Quadruplets de triangulaires

Partitions en triangulaires
On sait que tout nombre est somme de trois triangulaires, au plus. Mais, chaque nombre possède sans doute plus de partitions en nombres triangulaires. La quantité va croissant !	Quantité de partitions en nombres triangulaires Ex: Pt(10) = 7, Pt(11) = 7 , Pt(50) = 417 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 10, 11, 11, 15, 17, 17, 22, 24, 25, 32, 35, 36, 44, 48, 50, 60, 66, 68, 81, 89, 92, 107, 117, 121, 141, 153, 159, 181, 197, 205, 233, 252, 262, 295, 320, 332, 372, 401, 417, 465, 501, 520, 575, 619, 645, 710, 763, …
Les partitions triangulaires pour n de 1 à 20 [n, quantité de partition, partitions] La quantité de '1' est indicée pou alléger l'écriture. Pour retrouver n, il suffit d'ajouter l'indice aux nombres qui suivent. Rappel : premiers nombres triangulaires: 1, 3, 6, 10, 15, 21

Voir	Nombres triangulaires – Introduction et développements Nombres tétraédriques Relation de Fermat Nombres proniques Nombres parfaits Racine triangulaire et tour de Hanoï
Aussi	Nombres figurés
Site	OEIS A007294 – Number of partitions of n into nonzero triangular numbers
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Triangl.htm