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PARTITIONS en bref Portail – Index – Table des
matières Petit
texte d'orientation dans le monde des partitions. |
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L'addition est la plus simple des opérations
arithmétiques. Elle est notée avec le signe +
(plus). Le résultat s'appelle la somme. |
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Une addition consiste à ajouter une quantité (M) à une quantité de
départ (B). Notation: S = A + B.
Ajouter
0 ne
change par le nombre: A + 0 = A
Ajouter
1 incrémente la valeur de une unité. 0 + 1 = 1; 1
+ 1 = 2; 2 + 1 = 3; etc. Cette suite d'incrémentations produit tous les
nombres, aussi grands que l'on veut.
Ajouter
successivement tous les nombres d'une liste aboutit à la somme cumulée de ces nombres. La somme cumulée des entiers successifs à
partir de 0 forme les nombres triangulaires. |
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Une soustraction consiste à retirer
(retrancher) un nombre B à une quantité de départ (A). Notation D = A – B.
Ajouter
ou soustraire des nombres entiers positifs ou négatifs constitue une addition algébrique. |
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En jaune foncé, les PARTITIONS du nombre 5. Il y en a 7. Ce sont toutes les additions ayant 5 pour
somme. L'ordre des termes est indiffèrent. On distingue:
les partitions à
k sommants (k termes), et
les partitions à
k nombres, les nombres de 1 à k. |
En jaune clair, les COMPOSITIONS (ou décompositions) du nombre 5.
Ce sont les partitions avec toutes les permutations possibles des termes. Il
y en a 14. On distingue:
les
compositions à k sommants, et
les
compositions à k nombres, les nombres
de 1 à k. |
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Notes Les nombres
ajoutés sont les termes de l'addition.
Pour les partitions, on parle de sommants
ou de parts. Les partitions
sont généralement ordonnées des plus grands nombres aux plus petits,
notamment lors des recherches sur les partitions à k nombres. D'autres
partitions sont parfois étudiées: partition avec nombres tous différents, partitions avec seulement les chiffres de 1 à 9, etc. Propriété
des partitions partielles La quantité de
partitions à k sommants est égale à la quantité de partitions avec le nombre.
Ex: 5 = 4 + 1 = 3 + 2 (2 sommants ) & 5 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 +
1 + 1 (nombre 2 dans la partition, mais pas plus grand) >>> |
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NIVEAUX Pour s'y retrouver, on peut classer les
partitions en trois niveaux de profondeur:
Partitions
classiques telles qu'exposées ci-dessus:
un nombre = somme de nombres.
Partitions
spécifiques: un nombre = sommes de nombres
particuliers, comme premiers, carrés, cubes, Fibonacci, etc…
Partitions
doublement spécifiques: un nombre
spécifique (carré …) = somme de
nombres spécifiques (carré, premiers …) Dans ces deux derniers cas, on cherche également
à savoir si l'égalité se présente une fois ou plusieurs fois, comme, par
exemple, un cube somme deux fois de trois cubes. La foison des cas possibles est si grande qu'une page spéciale permet de d'y retrouver. |
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Orientation vers les pages traitant des
diverses possibilités exposées ci-dessus
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Tout nombre est la somme d'autres nombres et
avec de nombreuses possibilités de sommes. Comme:
Sauf
peut-être le 0: 0
= 0 + 0 n'est pas très original;
Sauf
également le 1: 1
= 1 + 0 pas très excitant non plus! |
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Le fait de couper en morceaux (en parts) un
nombre de cette façon se nomme partition. Lorsque vous avez trouvé une partition, il
est possible d'en déduire d'autres par permutation des nombres. La première
est dite permutation propre ou simplement
permutation. Les autres présentations sont des permutations induites ou compositions (parfois nommées: décompositions). |
Partition des nombres de 1 à 15 |
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La première idée avec les partitions consiste
à essayer de les dénombrer: combien de possibilités de sommes pour arriver à
un nombre donné? Pour 10, il y a 42 partitions propres et 512 partitions induites. Pour
100, il y a presque deux cent millions de partitions propres. La quantité de
partitions croît à une vitesse vertigineuse. |
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La quantité de partitions d'un nombre n avec les nombres de 1 à k
exclusivement est égale au nombre k-bonacci de rang n. |
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Quelles sont les formules qui s'appliquent aux quantités de partitions:
Déduire
les une des autres
Les
engendrer toute |
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On peut s'intéresser à des partitions
particulières:
selon
la quantité de termes de la somme;
selon
la nature des nombres sommés;
selon
la nature du nombre lui-même; et
selon
la quantité de partitions de même nature. |
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Quantité de termes:
avec
2 termes, il s'agit d'une bipartition;
avec
3 termes, il s'agit d'une tripartition;
avec
n termes, il s'agit d'une n-partition. |
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Quantité de parts (de sommants, de termes) |
||
Partition avec uniquement les chiffres de 1
à 9: |
||
Partition avec nombres consécutifs |
||
Selon la nature des termes sommé, il existe
des partitions avec:
des
nombres entiers
quelconques;
tous
différents
chiffres
de 1 à 9 seulement (digipartition);
premiers;
des
carrés;
des
cubes;
des
puissances d'ordre n;
etc. |
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Selon la nature du nombre:
entier
de forme particulière (repunit, repdigit …);
carré,
cube, puissance nième. Selon la quantité de partitions ·
Nombre
n fois somme de p puissance n. |
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Évidemment, toutes les combinaisons sont
possibles, notamment avec les sommes de puissances d'un nombre lui-même une
puissance. |
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||
Conjecture de Goldbach: tout nombre est la
somme de 3 nombres premiers. |
||
Fermat: tout nombre est la somme de 3 nombres
triangulaires et plus généralement tout nombre est décomposable en n nombre
n-gulaires. |
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Théorème de Waring: tout nombre est la somme
de: ·
4
nombres carrés (Lagrange); ·
9
nombres cubes; ·
etc. et plus généralement, un nombre est toujours la
somme d'au plus r puissances k. |
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Il existe une infinité de triplets de
Pythagore: a² + b² = c². Il n'existe aucun triplet de Fermat: an
+ bn = cn avec
n>2. |
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La somme des nombres successifs au carré est
égale à la somme de chacun de ces nombres au cube. |
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Nombres égaux à la sommes des entiers de 1 à
k |
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Partition non-croisée des ensembles |
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