Conjecture de Goldbach, historique

Connu principalement pour sa conjecture: il semble au moins que tout nombre entier plus grand que 2 est somme de trois nombres premiers (en ce temps, le nombre 1 était considéré comme premier).

Note: Gold Bach veut dire ruisseau d'or en allemand (das Gold und der Bach)

CONJECTURES forte, faible, et variantes
*Conjecture de Goldbach* énoncée par Goldbach dans une lettre le 7 juin 1724, publiée en 1843.	Chaque nombre entier strictement positif peut être écrit comme la somme d’au plus trois nombres premiers	N = P + P + P
Euler lui répond le 30 juin le problème est difficile et peu se formuler ainsi:	Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux premiers	E = P + P
*Conjecture de Goldbach faible ou ternaire* (Ternary Gloldbach Conjecture – TGC)	Tout nombre impair 7 est la somme de trois nombres premiers.	O = P + P + P O: pour nombre impair (odd en anglais)
*Autre conjecture de Goldbach*	Tout nombre impair peut être écrit comme la somme d'un nombre premier et le double d'un carré. En fait, il existe une quantité finie d’exceptions.	O = P + 2k²
	On a montré que si la conjecture de Goldbach faible est fausse, Elle ne l'est que pour un nombre fini de cas.
*Conjecture de Goldbach forte ou binaire* (Binary Gloldbach Conjecture – BGC)	Tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers.	E = P + P E: pour nombre pair (even en anglais)
	Si la conjecture forte est démontrée, la faible l'est aussi. >>> Par contre, la faible qui semble être démontrée en 2013, n'implique pas que la forte le soit.
Variante de Schnizel (1930)	Tout nombre supérieur à 17 est égal à la somme de trois nombres premiers distincts.	N _{> 17} = P₁ + P₂ + P₃
Variante équivalente à BGC	Pour tout nombre n pair supérieur ou égal à 2, il existe un nombre m tel que: Qui peut aussi se formuler: tout nombre entier supérieur à 2 est à égale distance de deux nombres premiers.	n + m = P n – m = P' 2n = P + P'
*Conjecture de Levy* (1963) Il a formulé une conjecture un peu plus forte	Tout nombre impair supérieur à 5 est égal à un nombre premier plus deux fois un nombre premier.	O = P + 2.P Vérifiée jusqu'à O = 10⁹ >>>
*Conjecture de Lagrange* (1775) Il avait conçu cette conjecture bien avant Levy!	Tout nombre impair > 5 est la somme d'un premier et d'un autre doublé. A conjecture of Lagrange asserts that every odd integer greater than 5 can be written as a sum p + 2q, where both p and q are primes.	O _>5 = P + 2.P >>>
*Conjecture de Polignac* *Fausse*	Tout nombre impair est la somme d'un premier et d'une puissance de 2.	O = P + 2^k Non pour 127, 149 … >>>
Conjecture cousine avec nombres composés	Tout nombre pair > 12 est la somme de deux nombres composés (non premiers).	E _>12 = C + C >>>
*Théorème de Chen*	Tout nombre pair suffisamment grand est la somme d'un premier et du produit de deux premiers.	E = P + P.P E > 12 >>>

Explication sur la variante en plus et moins m

Exemple

Avec 20 = 2 x 10 = 3 + 17,

le nombre m est égal à 7, car P = 10 + 7 = 17 et P' = 10 – 7 = 3

Preuve

Soit un nombre pair somme de deux premiers: 2n = p + q.

p = 2n – q = n – (q – n) = n - m

q = = n + (q – n) = n + m

Explication sur la cousine

Exemples

12 = 4 + 8; 13 = 4 + 9; 14 = 4 + 10; 15 = 6 + 9; 16 = 4 + 12 …

Preuve

Un nombre pair peut s'écrire 10k, 10k + 2, 10k + 4; 10k + 6; 10k + 8

Or 10k = 15 + (10k – 15), somme de deux composés;

10k + 2 = 15 + (10k – 8), somme de deux composés;

etc.

Contre exemples pour n impair

1 à 9, 11. Ce qui laisse penser que ce théorème est vrai pour tous les autres nombres.

Mi-distance					haut
Propriété Une conséquence directe de la conjecture forte	Tout nombre n > 3 est à égale distance d'un couple de nombres premiers, au moins une fois. *ou:* Tout nombre n > 1 est toujours représentable comme la demi somme de deux nombres premiers. Every integer n > 3 is halfway between two primes.
Exemple Le nombre 10 est à égale distance des nombres premiers 3 et 17 ou encore de 7 et 13. Ce tableau montre que toutes les valeurs de n à partir de 4 sont représentées.
Conjecture de Goldbach Un nombre pair est la somme de deux premiers. Notez que n est alors la moyenne arithmétique des deux premiers.			2n = p + q n + n = p + q
Reformulation Cette relation montre que pour n quelconque, il existe une paire de premiers tels que n est à égale distance de chacun (si la conjecture de Goldbach est vérifiée !)				n – p = q – n
Exemple avec 14		14 = 3 + 11 7 + 7 = 3 + 11 7 – 3 = 11 – 7 4 = 4

Voir Brève 49-964

Merci à Vittorio Ornago pour m'avoir indiqué cette propriété surprenante

Conjecture de Goldbach: résumé de la situation en 2014

Sachant que depuis 2013, la TGC (conjecture faible) serait démontrée.

D'après Number Theory for Computing – Song Y. Yan – Page 297 + Mises à jour des valeurs

Historique (Les nombres mentionnés sont tous entiers et positifs)
7 juin 1742 Goldbach	Tout nombre supérieur à 5 est la somme de trois premiers.	N = P + P + P
Euler répond à Goldbach	Affirmation équivalente à: Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux premiers.	E = P + P
1770 Edward Waring	Premier écrit mentionnant la conjecture.
1808 Adrien-Marie Legendre	Entrevoit l'idée d'appliquer une méthode de crible. C'est Brun (1920) qui y parviendra.
1843	Publication de la lettre de Goldbach.
1855 A. Desboves explore les	Conjecture de Goldbach vérifiée jusqu'à:	10⁴
1914 Harald Bohr Edmund Landau	Fonction zêta: recherche des régions où la fonction a peu de zéros
1920 Viggo Brun Puis Chen en 1966	Tout nombre pair suffisamment grand est la somme de deux composés, chacun ayant neuf facteurs au plus..	E = A + B A = P.P…P B = P.P…P 9 fois max

1923

Hardy & Littlewood

Tout nombre impair assez grand est somme de trois premiers en supposant l'hypothèse de Riemann vraie.

Conjecture sur la quantité de partitions; non prouvée à ce jour.

O = P + P + P

si Riemann

1924

Hans Radmacher

Comme Brun, mais passe à 7.

E = A + B

A = P.P…P

B = P.P…P

7 fois max

1933

Lev Schnirelmann prouve que:

Tout nombre > 1 est somme d’au plus K nombres premiers.

N = P + P + …+ P

K fois max

1937

Vinogradov prouve que

Tout nombre impair supérieur à un nombre G, suffisamment grand, est la somme de trois nombres premiers.
(three prime theorem)

Hardy et Littlewood avaient démontré la même chose mais supposant l'hypothèse de Riemann généralisée

O = P + P + P

corollaire

E = P + P + P + P

1938

Corpust

Estermann

Chdukov prouvent que

Presque tous les nombres pairs sont la somme de deux nombres premiers.

Il y en a moins de

. N

1939

Schnirelmann prouve que:

Tout nombre pair est la somme d'au plus 300 000 nombres premiers.

E = P₁ + P₂ + … + P_{300 000}

1940

Pipping

Conjecture de Goldbach vérifiée jusqu'à (pour la première fois par ordinateur).

10⁵

1947

Alfred Renyi prouve

Il existe une constante K telle que tout entier pair est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus K facteurs premiers.

E _{> K} = P + P.P…P

K fois max

1951 Yuri Linnik	Il existe une constante K telle que tout entier pair assez grand est somme de deux nombres premiers et d’au plus K puissances de 2. Li donne la valeur K = 1906. En admettant l'hypothèse de Riemann k = 200.	E _{> K} = P + P + 2^a + 2^b + … K fois max
1956 Borodzkin	Constante de Vinogradov (1937)	n > 3^{3^15} = 3^14348907
1959 Andrzej Schnizel prouve	Si la conjecture de Goldbach est vraie, alors tout entier supérieur à 17 est somme de trois premiers distincts.	N = P₁ + P₂ + P₃
1964 Shen	BGC vérifiée jusqu'à:	3,3 10⁷
1965 Stein & Stein	BGC vérifiée jusqu'à:	10⁸
1966 (publié 1973) Chen Jingrun (1933-1996)	Tout nombre pair suffisamment grand est la somme d'un premier et d'un entier qui a, au plus, deux facteurs premiers (semi-premier).	E = P + P ou P + P . P Démontré G' > 12
1969 Klimov	Premier à donner une valeur à la constante de Schnirelman (1933) et l'améliore à:	K = 115 elle est actuellement à 19
1975 Hugh Montgomery Robert Charles Vaughan	Pratiquement tous les nombres pairs sont la somme de deux premiers	E = P + P presque toujours
1977 Pogorzelski	Prétend avoir démontré la conjecture de Goldbach, mais cette preuve n'est pas universellement reconnue.
1989 Chen Wang	Constante de Vinogradov (1937)	n > 10^{43 000}
1989 Granville, Lune, Riele	BGC vérifiée jusqu'à::	2 10¹⁰
1989 Deshouillers, Riele, Saouter	BGC vérifiée jusqu'à:	10¹⁴
1993 Sinisalo vérifie que	BGC vérifiée jusqu'à::	4 x 10¹¹
1989 Chen et Wang arrive à	Un nombre plus petit:	G (e^e)^{11 503}
1994 Vinogradov	Donne une valeur à la borne:	O = P + P + P G (3³)³ = (e^e)^{16 573}
1995 Olivier Ramaré (Français) prouve	Tout nombre pair est la somme d'au plus six premiers.	E = P + P + …+ P 6 fois max corollaire N = P + P + …+ P 7 fois max
1995 Kaniecki prouve	Tout nombre pair est la somme d'au plus quatre premiers; sous condition que l'hypothèse de Riemann soit vraie	si Riemann: E = P + P + …+ P 4 fois max O = P + P + …+ P 5 fois max
1995 Saouter	Conjecture de Goldbach faible (nombres impairs) vérifiée jusqu'à:	10²⁰
1989 Deshouillers, Riele, Effinger, Zinoviev	TCG est vraie si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie.	si Riemann généralisé: E = P + P + P
1998 Jörg Richstein	BGC vérifiée jusqu'à:	4 10¹⁴

2002 Roger Heath-Brown J.-C. Schlage-Puchta	La constante K de Linnik:	K = 13
2003 Janos Pintz Imre Ruzsa	La constante K de Linnik:	K = 8
2003 Tomas Oliveira e Silva	BGC vérifiée jusqu'à:	6 x 10¹⁶
2012 Tomas Oliveira e Silva	BGC vérifiée jusqu'à:	4 x 10¹⁸
2012 Terence Tao	Tout entier impair est somme de cinq nombres premiers au plus. (preuve en cours de vérif.)	O = P + P + P + P + P
2013 Harald Helfgott D. Platt	TGC vérifiée jusqu'à:	8,8 10³⁰
2013 Harald Helfgott	Constante de Vinigradov (1937)	G < 10²⁷
2013 Harald Helfgott	Tout entier > 5 impair est somme de trois nombres premiers. (preuve en cours de vérif.)	O = P + P + P

Voir Explications techniques sur histoire récente / Actualités

Témoignages de Schinzel et Sierpinski

Extrait de Selecta d'Andrzej Schinzel – Article écrit avec Sierpinski – Page 1114

Évaluation de la quantité de partitions

Halberstam et Richert 1974

Si R(n) est la quantité de partitions possibles d'un nombre pair en somme de deux nombres premiers, la conjecture généralisée dit que:

où est la constante des nombres premiers jumeaux >>>

En 1923, Hardy et Littlewood conjecturèrent une formule de ce type.

GOLDBACH ET TOTIENT D'EULER

Si la conjecture de Goldbach est vraie, alors pour tout nombre N, il existe deux nombres premiers p et q tels que:

où est le totient d'Euler

En se souvenant que, pour un nombre premier: .

Bilan

La conjecture de Goldbach concernant la partition des entiers en nombres premiers s'inscrit dans les listes des problèmes non résolus à ce jour.

Notamment dans la liste des 23 problèmes établie par Hilbert (1900). Le 8^e s'applique aux nombres premiers; de même que l'un des sept problèmes de la fondation Clay (2000)

Suite	Les quatre problèmes de Landau Début de preuve ? Partitions
Voir	Conjecture – Glossaire Bi, tripartitions Fermat Modulo & Congruences Nombres Premiers Partition de Zeckendorf – Fibonacci
Sites	La conjecture de Goldbach ternaire – Harald Andrés Helfgott Goldbach Conjecture – Mathworld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Goldbach.htm