NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/11/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	Théorie des Nombres
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		Sommaire de cette page >>> Produit >>> PGCD, PPCM >>> Divisibilité >>> Carrés et puissances >>> Nombres sans facteurs carrés >>> Nombres plénipotents >>> Nombres d'Achille >>> Puissance de 2 et autres

THÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ARITHMÉTIQUE

PROPRIÉTÉS

Quelques propriétés directement induites par ce théorème.
Définition des nombres simples et nombres plénipotents.

PRODUIT
Soit trois nombres et leur décomposition en facteurs:
Si c = a . b Si c = a / b
Exemples numériques Multiplication => somme des exposants. Division => différence des exposants	882 = 2^1 . 3^2 . 5^0 . 7^2 15 = 2^0 . 3^1 . 5^1 . 7^0 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 . 7^0 2 381 400 = 2^3 . 3^5 . 5^2 . 7^2 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 15 = 2^0 . 3^1 . 5^1 12 = 2^2 . 3^1 . 5^0

PGCD, PPCM
Plus grand commun diviseur (PGCD). Plus petit commun multiple (PPCM).
Exemples numériques	120 = 2^3 . 3^1 . 5^1 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 (15, 180) = 2^2 . 3^1 . 5^1 = 60 120 = 2^3 . 3^1 . 5^1 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 [15, 180] = 2^3 . 3^2 . 5^1 = 360

DIVISIBILITÉ
Un nombre b est divisible par un nombre a si et seulement si les exposants de a sont inférieurs ou égaux à ceux de b.
Exemples numériques	Divisible 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 15 = 2^0 . 3^1 . 5^1 Non divisible 180 = 2^2 . 3^2 . 5^1 120 = 2^3 . 3^1 . 5^1

CARRÉS et PUISSANCES – Définition
Nombre n égal au produit d'un entier a par lui-même.	n = a²	25 = 5²
Un nombre est un carré si et seulement si tous les exposants sont pairs.	n = p ^2. k	19 600 = 2^4 . 3^0 . 5^2 . 7^2 = 140²
Un nombre n est une puissance m si et seulement si les exposants sont des multiples de m.	n = p ^m.k	100 000 = 2^5 . 3^0 . 5^5 . 7^0 = (2 . 5)^5

Voir Nombres carrés

Nombres sans facteur carré (square-free numbers)
Nombres dont les exposants significatifs sont seulement des uns. Nombre non divisible par un carré. L'identification de ce type de nombres est utile dans la théorie des nombres.	nS = p ^a Avec = {0,1}	6 = 2 . 3 105 = 3 . 5 . 7 3 289 = 11 . 13 . 23
Square-free numbers We say that a is square-free if 1 is the largest square dividing a. Thus a is square-free if and only if the exponents take only the value 0 and 1.
Il existe une infinité de ces nombres.		1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21 …
Tout nombre est le produit d'un carré par un nombre sans facteur carré.	n = a² . ns	12 = 2². 3 13 = 1 . 13 14 = 1 . 14 60 = 2². 15

Voir Nombres sans facteur carré / Nom des nombres / Nombres simples / Nombres homogènes

Nombres plénipotents ou puissants (powerful numbers or squarefull numbers)
Nombres qui n'a pas d'exposant inférieur à 2. Le produit de nombres plénipotents est aussi un plénipotent.	nS = p ^a Avec > 1	108 = 2^2 . 3^3 10 575 = 3^2 . 5^2 . 7^2 136 125 = 3^2 . 5^3 . 11^2
Un nombre n est plénipotent si, pour tout nombre premier p qui divise n, son carré p² divise aussi n.	Si pour tout p n Nous avons p² n Alors n est plénipotent	2 et 3 sont les facteurs premiers de 108 2^2 │108 3^2 │108 108 est plénipotent
Powerful numbers A positive integer N is called powerful if p² │N whenever p │N. An integer N is powerful if and only if N can be expressed in the form N = m^2 . n^3 where m and n are positive integers.
Les premiers nombres puissant.	4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144 …
Heath-Brown a montré en 1988 que tout nombre naturel suffisamment grand est la somme d'au plus trois nombres puissants. Le plus grand nombre qui n’est pas la somme de trois nombres puissants est probablement 119.	118 = 3^2 + 3^2 + 10² = 3^3 + 3^3 + 2^6 119 = / 120 = 2^2+ 2^3 + 2^2∙3^3 = 2^2 + 2^4 + 10^2 = 2^2 + 2^5 + 2^3∙3^2 …
Partition en somme de deux nombres puissants distincts.	Même autour de 100 000, il existe des trous.	99 997 = 5^3∙11^2 + 2^3∙103^2 99 998 = / 99 999 = / 100 000 = 12^2 + 2^4∙79^2
Tout nombre plénipotent est le produit d'un carré et d'un cube.	N = m^2 . n^3	63 504 000 = 2^7 . 3^4 . 5^3 . 7^2 = (2^4 . 3^4 . 5^0 . 7^2) ( 2^3 . 3^0 . 5^3 . 7^0) = (2^2 . 3^2 . 7)^2 ( 2 . 5)^3 = (2^2 . 3^2 . 7)^2 ( 2 . 5)^3 = 252^2 . 10^3

Voir Nombres 2-puissants et 3-puissants / Nombres puissants au bac / Table /

Nom des nombres / Nombres plénipotents / Nombres riches

Nombres d'Achille
Un nombre plénipotent, non puissance exacte, est un nombre de Achille. Le plus petit est 72 = 2^3 x 3^2 et le suivant est 108 = 2^2 x 3^3. Liste: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 ...

Voir Nombres d’Achille – Développements

PUISSANCE DE DEUX et autres
Tout nombre est égal au produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair.	n = 2^k . m Avec m impair et k 0	3 = 2^0 . 3 176 = 2^4 . 11 1 936 = 2^4 . 121 3 360 = 2^5 . 105
Tout nombre n est le produit unique a.b d'un nombre simple a et d'un carré b. b est alors le plus grand carré divisant n.	n = a . b Avec a simple Et b = x²	20 580 = 2^2 . 3 . 5 . 7^3 = (2^0 . 3^1 . 5^1 . 7^1 ) (2^2 . 3^0 . 5^0 . 7^2) = 105 . 14²

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Voir	Nombres et leurs facteurs Facteurs et diviseurs Facteurs / diviseurs Nombres composés Nom des nombres
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