NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Tripartition des nombres de 1 à 15 

>>> Tripartition des multiples de 10

>>> Tripartition de 15

>>> Somme de trois nombres (tripartition)

Théorie

>>> Propriétés des tripartitions

>>> Propriétés des jusqu'à trois partitions

 

 

 

 

 

 

TRIPARTITION 

 

Propriétés des partitions d'un nombre avec trois nombres (sommants) dite tripartition des nombres.

 

Exemple de tripartition du nombre 15: 2 + 3 + 10

 

 Bien distinguer …

Prenons les partitions du nombre 5:

*      Certaines n'utilisent que les nombres de 1 à 3; il y en a trois; et

*      Certaines ne comportent que trois termes (sommants); il y en a deux et  ce sont les tripartitions du nombre 5, objet de cette page.

Notez que le nombre 5 possède cinq partitions ayant au plus trois sommants >>>

 

 

 

 

TRIPARTITION – 3 sommants – de 1 à 15

 

n

a1

a2

a3

qté

3

1

1

1

1

4

1

1

2

1

5

1

1

3

2

1

2

2

6

1

1

4

3

1

2

3

2

2

2

7

1

1

5

4

1

2

4

1

3

3

2

2

3

8

1

1

6

5

1

2

5

1

3

4

2

2

4

2

3

3

9

1

1

7

7

1

2

6

1

3

5

1

4

4

2

2

5

2

3

4

3

3

3

10

1

1

8

8

1

2

7

1

3

6

1

4

5

2

2

6

2

3

5

2

4

4

3

3

4

 

Cas des multiples de 10

 

11

1

1

9

10

1

2

8

1

3

7

1

4

6

1

5

5

2

2

7

2

3

6

2

4

5

3

3

5

3

4

4

12

1

1

10

12

1

2

9

1

3

8

1

4

7

1

5

6

2

2

8

2

3

7

2

4

6

2

5

5

3

3

6

3

4

5

4

4

4

13

1

1

11

14

1

2

10

1

3

9

1

4

8

1

5

7

1

6

6

2

2

9

2

3

8

2

4

7

4

6

6

5

5

7

4

5

3

4

 

14

1

1

12

16

1

2

11

1

3

10

1

4

9

1

5

8

1

6

7

2

2

10

2

3

9

2

4

8

2

5

7

2

6

6

3

3

8

3

4

7

3

5

6

4

4

6

4

5

5

15

1

1

13

19

1

2

12

1

3

11

1

4

10

1

5

9

1

6

8

1

7

7

2

2

11

2

3

10

2

4

9

2

5

8

2

6

7

3

3

9

3

4

8

3

5

7

3

6

6

4

4

7

4

5

6

5

5

5

 

 

 

 

Tripartitions du nombre 15

n

Qté

Tripartition

Dif-partition

Nombres

différents

Digi-partition

Chiffres

seulement

15

19

1, 1, 13

 

 

 

 

1, 2, 12

1, 2, 12

 

 

 

1, 3, 11

1, 3, 11

 

 

 

1, 4, 10

1, 4, 10

 

 

 

1, 5, 9

1, 5, 9

1, 5, 9

 

 

1, 6, 8

1, 6, 8

1, 6, 8

 

 

1, 7, 7

 

 

 

 

2, 2, 11

 

 

 

 

2, 3, 10

2, 3, 10

 

 

 

2, 4, 9

2, 4, 9

2, 4, 9

 

 

2, 5, 8

2, 5, 8

2, 5, 8

 

 

2, 6, 7

2, 6, 7

2, 6, 7

 

 

3, 3, 9

 

 

 

 

3, 4, 8

3, 4, 8

3, 4, 8

 

 

3, 5, 7

3, 5, 7

3, 5, 7

 

 

3, 6, 6

 

 

 

 

4, 4, 7

 

 

 

 

4, 5, 6

4, 5, 6

4, 5, 6

 

 

5, 5, 5

5, 5, 5

 

 

 

 

Somme de trois nombres (tripartition)

Combien de sommes de trois nombres pour faire 10 ?

 

8 possibilités

 

Combien de sommes de trois nombres pour faire 100 ?

 

833 possibilités

 

 

Évolution

N le nombre; k la quantité de partitions en trois nombres; dk le supplément de partitions par rapport au nombre précédent.

 

 

 Propriétés des tripartitions

Polynôme générateur

 

 

Quantité de tripartitions

(Coefficient du Polynôme générateur)

 

0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 

Formule 

 

Programme de calcul avec Maple: Création de la fonction "arrondi de n/12.
Calcul d'une suite (seq) de dix nombres avec cette fonction.

 

Voir  Arrondi, plancher et plafond

Application

Parmi ces tripartitions (a, b, c), celle pour lesquelles (a + b) < c sont les longueurs des côtés des triangles entiers.

 

 

Propriétés des jusqu'à trois partitions

 

Exemple

Le nombre 5 possède cinq partition avec au plus trois sommants.

 

[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2],                  Plus de 3 sommants

[1, 2, 2], [1, 1, 3], [2, 3], [1, 4], [5]   Jusqu'à 3 sommants

Polynôme générateur

 

 

 

Quantité de partitions avec au plus trois sommants.

Ex: les cinq telles partitions pour le nombre 5.

 

1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 30, 33, …

Formule

Général

 

D'une manière générale,

*      le nombre de partitions de n en au plus k parties est aussi

*      le nombre de partitions de n + k en k parties positives,

*      le nombre de partitions de n + k dont la plus grande partie est k,

*      le nombre de partitions de n dont la plus grande partie est inférieure ou égale à k,

*      le nombre de partitions de n + k (k + 1) / 2 en exactement k parties positives distinctes,

*      le nombre de solutions non négatives à b + 2c + 3d + .. . + kz = n, et

*      le nombre de solutions non négatives à 2c + 3d + ... + kz ≤ n.

 

Voir Tripartition tronquée pour formation des triangles entiers / Arrondis

 

 

Une manière originale de présenter les quantités de partitions avec au moins trois sommants

en bleu sur cette spirale hexagonale

Voir Brève 765

 

 

 

 

 

 

Retour

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*      Totient d'Euler

*      Tri-partitions avec des nombres premiers

Site

*      OEIS A069905 – Number of partitions of n into 3 positive parts.

*      OEIS A001399 – a(n) is the number of partitions of n into at most 3 parts; also partitions of n+3 in which the greatest part is 3

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/PttTri.htm