NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 14/12/2010

-Ý- Rubrique: THÉORIE DES NOMBRES
§ Théorèmes	§		§
Sommaire de cette page >>> FONDAMENTAUX >>> PREMIERS >>> DIVISIBILITÉ >>> DIVISEURS >>> PARTITION >>> SOMME DE PUISSANCES >>> THÉORIE DES NOMBRES		Pages sur sujets voisins §  Identités / Constantes § Théorie des nombres § Calcul mental § Géométrie § Dualité § Logique § Outils de la logique § Incomplétude § Raisonnement § Énigmes et paradoxes § Fractales

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Tentative de récapitulation voir aussi Théorèmes

-Ý- FONDAMENTAUX

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Entier

Théorème fondamental de l'arithmétique Tout nombre entier naturel est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers

Polynôme

Théorème fondamental de l'algèbre ou théorème de d'Alembert Tout polynôme de degré n a exactement n racines, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité

-Ý- - PREMIERS

>>>

Quantité

Théorème des nombres premiers La densité de nombres premiers autour de n est environ 1/ log(n)

>>>	Quantité	Entre n et 2n, il y a toujours un nombre premier
>>>	Somme	Un nombre pair est toujours la somme de 2 premiers
>>>	Somme	Un nombre impair (>5) est la somme de 3 premiers

>>>

Forme

Tout nombre premier est un multiple de 6 à ± 1 près, sauf 2 et 3

-Ý- - DIVISIBILITÉ

>>>

Factorielle

Théorème de Wilson (p-1)! + 1 est divisible par p pour p premier

>>>	Carré - pair	Le carré d'un nombre pair, divisé par 8, laisse un reste de 0 ou 4
>>>	Carré - impair	Le carré d'un nombre impair, divisé par 8, laisse un reste de 1
>>>	Carré	Le reste de la division par 4 de n² + m² est toujours 0, 1 ou 2, mais jamais 3

>>>

2, 3 et 6

Tous les nombres en n (n^2 + 5) sont divisibles par 2, 3 et 6

-Ý- - DIVISEURS

>>>	Quantité	Le nombre de diviseurs de N = a^n . b^q x. c^r x ... est : (p + 1) (q + 1) (r + 1) (...
>>>	Quantité	Le nombre de produits de deux facteurs premiers entre eux est: 2^(n-1)
>>>	Somme	La somme des diviseurs est égale à: (a^(p+1)-1) / (a-1) . (b^(^p+1)-1) / (b-1) . (c^(^p+1)-1) / (c-1) ...

-Ý- - PARTITION

>>>	Polygonaux	Tout nombre entier est une somme : 3 nombres triangulaires 4 nombres carrés 5 nombres pentagonaux etc. Voir / Partition
>>>	Abondant	Tous les nombres supérieurs à 20 161 sont la somme de 2 nombres abondants
>>>	Carrés	Si n est supérieur à 128, il peut être décomposé en une somme de carrés tous distincts
>>>	Carrés	Tous les nombres, au-delà de 17 163, sont la somme de deux premiers distincts au carré
>>>	Carrés	Tout nombre de la forme 4n + 2 n'est pas décomposable en différence de deux carrés
>>>	Impair	Les sommes des nombres impairs donnent un carré
>>>	Impair	La somme des N premiers impairs est le carré de la moitié de ce nombre augmenté de un
>>>	Impair	Tout entier impair > 7 est la somme de 3 premiers
>>>	Inverse	Tout nombre, supérieur à 77, peut être décomposé en une somme d'entiers dont la somme des inverses est égale à l'unité
>>>	Inverse	Pour tout entier n, il existe a, b, c tel que : 4/n = 1/a+1/b+1/c
>>>	Nombre	Le nombre de sommes pour partitionner n est 2^n-1
>>>	Nombre	Tout nombre supérieur à 45 est décomposable en somme de nombres premiers distincts supérieurs à 11
>>>	Nombre	Tout nombre supérieur à 55 est décomposable en somme de nombres premiers distincts de la forme 4n + 3
>>>	Nombre	Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer par une somme finie de nombres de la suite harmonique 1/n
>>>	Pair	Tout entier pair > 2 est la somme de 2 premiers
>>>	Parfait	Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs
>>>	Premier	Un nombre premier est la somme de 2 carrés si p + 1 n'est pas divisible par 4
>>>	Simple	Un entier est la somme d'une suite d'entiers consécutifs si et seulement si ce nombre n'est pas une puissance de deux.
>>>	Triangulaire	Tout nombre est décomposable en somme de 3 nombres triangulaires au plus

-Ý- - SOMME DE PUISSANCES

>>>

Triangle

1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ...+ n)^2

Autrement dit:

La somme des cubes

est un carré

>>>

Carrés

Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtes est égale au carré de l'hypoténuse: X^2 + Y^2 = Z^2

>>>

Carrés

Théorème de Lagrange Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés N = A² + B² + C² + D²

>>>

n

Théorème de Fermat - Wiles La relation: X^n + Y^n = Z^n n'a aucune solution en nombres entiers pour n > 2

>>>

n

Théorème de Waring Il existe toujours une somme limitée de puissances pour tous les nombres et pour toutes les puissances

>>>	1 Carré	Tout carré est la somme des nombres impairs successifs
>>>	1 Carré	Tout nombre carré est décomposable en somme de deux nombres triangulaires successifs
>>>	1 Carré	Tout carré impair est égal à 8 fois un nombre triangulaire, plus un
>>>	1 Carré	Le carré de tout nombre impair est égal à la différence entre deux nombres triangulaires premiers entre eux.
>>>	2 Carrés	Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4
>>>	2 Carrés	Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés
>>>	2 Carrés	Tout nombre premier de la forme 4n + 3 n'est jamais décomposable en somme de deux carrés:
>>>	3 Carrés	Un nombre dont la division par 8 donne un reste de 7 n'est pas la somme de trois carrés
>>>	3 Carrés	Théorème de Gauss N est somme de trois carrés au plus N = A² + B² + C² si et seulement si N est différent de 4^a (8b-1)
>>>	3 Carrés	81 est le plus petit carré décomposable en somme de trois carrés

-Ý- - THÉORIE DES NOMBRES

10^e Problème de Hilbert

>>>

Entier

10^e Problème de Hilbert Il n’y a pas d’algorithme indiquant si une équation diophantienne possède ou non une solution

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