NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Propriétés fondamentales >>> Propriétés liées aux chiffres >>> Propriétés fonctionnelles >>> Questions ouvertes >>> Majorant des nombres premiers >>> Préférence des nombres premiers

Citation

On n’a qu’à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers, que quelques personnes se sont donné la peine de continuer au-delà de cent mille : et on s’apercevra d’abord qu’il n’y règne aucun ordre ni règle.

Euler

Voir Pensées et Humour

PROPRIÉTÉS

des NOMBRES PREMIERS

Quelques propriétés typiques des nombres premiers.

Devinette

Pouvez-vous trouver tous les nombres premiers p

tels que 5p + 1 soit un carré?

Solution

PROPRIÉTÉS fondamentales
Il n'existe pas de formule algébrique pour représenter un nombre premier. Il existe une infinité de nombres premiers. La factorisation d'un nombre en facteurs premiers est unique. Si un nombre premier divise un produit a.b, il divise a ou b. Un nombre premier est un nombre premier quelle que soit la base de numération (Ex: 3710 = 2516 est toujours premier).

Propriétés liées aux chiffres
0	Ne termine aucun nombre premier.
1	N’est pas premier, par définition. (facilite l’énoncé de certaines propriétés)
2	Est le seul nombre premier pair.
5	Est le seul nombre premier qui se termine par 5
3, 5, 7	Seul triplet de nombre premiers impairs consécutifs
1, 3, 7, 9	Tous les nombres premiers se terminent par l’un de ces 4 chiffres (sauf 2 et 5).
4	Tous les nombres premiers 1 sont divisibles par 4 (sauf 2 et 3).
6	Tous les nombres premiers 1 sont divisibles par 6 (sauf 2 et 3).
1, 9	Tous les carrés d'un nombre premier (> 5) se terminent par 1 ou 9.

Propriétés fonctionnelles
Caractérisation du nombre premier
Nombre qui est seulement divisible par un ou par lui-même. Nombre dont l'indicateur d'Euler est égal au nombre moins un.

Valeur

Le nième nombre premier vaut approximativement n log n.

Hadamard et La Vallée-Poussin en 1896

Le nombre premier p de rang k est inférieur à 2^k à partir du rang 2

>>>

Parmi tous les nombres formés d'une suite alternée de 1 et 0, seul 101 est premier.

Il y a une infinité de nombres premiers en 4ⁿ – 1.

Parité et puissances

Le produit de deux nombres premiers distincts n’est jamais un carré.

En effet: le produit de deux nombres premiers distincts ne peut pas être factorisé comme produit de deux facteurs identiques.

Voir P x P' non C²

Tous nombre pair (>2) est la somme de 2 nombres premiers.

Conjecture de Goldbach

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.

Fermat, démontré par Euler

Quantité de premiers

Il y a une infinité de nombres premiers.

Démonstration d'Euclide

Il y a une infinité de nombres premiers de la forme kp + q, avec p et q premiers entre eux.

Théorème de Lejeune-Dirichlet

Entre n et n!! + 1, il existe au moins un nombre premier.

Démonstration

Entre n et 2.n, il existe toujours un nombre premier.
Autrement-dit: l'écart entre un nombre premier p et son successeur est plus petit que p.

Ce qui veut dire aussi que pour n > 10: il existe plus de premiers entre 1 et n qu'entre n et 2n.

Postulat de Bertrand (1845) démontré par Tchebychev (1852)

Démonstrations plus simples par Ramanujan puis par Paul Erdös (1932)

Voir Belle application avec les factorielles / Nombres premiers de Ramanujan

Entre n et 2.n et n > 6, il existe au moins un nombre premier en 4k – 1 et au moins un autre en 4k + 1 – Prouvé par Erdös.
Exemple entre 7 et 14: 7 = 4x2 – 1 ; 11 = 4x3 – 1; 13 = 4x3 + 1

On ne sait toujours pas démontrer qu'il existe un nombre premier entre n² et (n+1)².
On conjecture pourtant que:

Entre n² et (n + 1)², il existe toujours un nombre premier; ils sont même d'autant plus nombreux que n est grand.
Ex: entre 10² et 11², il y en a 5; entre 100² et 101², il y en a 23.

Conjecture de Legendre.
Chen a démontré que c'est vrai pour un premier ou un semi-premier (1975).

Démontré: il existe un premier entre n^23/42 – n

La suite d'entiers a, a+b, a+2b, a+3b, …avec a et b premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers.

Théorème de Dirichlet

On peut aussi trouver une suite de nombre aussi grande que l'on veut (x) sans nombre premier. Il faut alors qu'elle commence par un nombre suffisamment grand pour ne pas contenir n et 2n ( => n > x).

On ne sait pas s'il existe une infinité de premiers de la forme n²+1.

Primalité

Si n résiste à tout essai de division par les entiers inférieurs ou égaux à racine de n, il est premier.

Les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers comme le pensait Fermat.

Un nombre n et un premier p, alors n^p - n est divisible par p.

Petit théorème de Fermat

Si p est premier, alors (p-1)! + 1 est divisible par p.

Théorème de Wilson

En concaténant les nombres premiers successifs 23 et 2357 sont premiers. Le suivant est très grand: 0,2357 … 10³⁵⁵ avec 127 nombres premiers; suivants avec 173, 341, 434 …nombres premiers

Voir Liste de ces nombres

Suites et fonctions

La somme des inverses des nombres premiers est divergente

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+… tend vers l'infini.

Euler, démontré en 1737 - Voir Série harmonique

La somme des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente

1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + ... = 1,902...

Identité d'Euler reliant les nombres entiers aux nombres premiers

Identité d'Euler

0, 77 31 56 66 9 … =

p indiquant somme sur tous les nombres premiers existant de 2 à l'infini

Préférence des nombres premiers Un nombre premier "n'aime" pas être suivi par un autre ayant la même unité.
Soit P et son successeur Q. Le nombre P aurait des préférences pour ne pas choisir la même unité pour le nombre Q. Propriété découverte et démontrée par Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver (Stanford University) – 2016. Anglais: last digits of nearby primes have ‘anti-sameness’ bias. Cette propriété contredit l'idée que les nombres premiers se comporteraient au hasard, avec la même probabilité de rencontrer un chiffre unité ou un autre (en fait seulement: 1, 3, 7 et 9, hors les nombres 2 et 5). Les observations ont été faites en base 3 pour laquelle les nombres premiers se terminent pratiquement moitié-moitié par 1 et 2. Or, déjà pour n < 1000: Un nombre se terminant par 1 aura deux fois plus de chances d’être suivi par un premier se terminant par 2 plutôt que par 1. De même, un premier se terminant par 2 préfère être suivi par un premier se terminant par 1. Exemple pour les premiers de 1000 à 1200 L'amplitude des oscillations témoignent de la répulsion entre premiers de même unité. En rouge, les premiers amis d'unités. L'observation ne s'arrête pas là. Pourquoi un premier en 3 préfère un premier en 9, plutôt qu'en 1 ou 7? Nos deux mathématiciens ont exploité un modèle de production statistique des nombres premiers basé sur le fait que: La densité de nombres premiers autour d'un nombre quelconque est inversement proportionnelle au nombre de chiffres pour écrire le nombre. En 1936, Harald Cramer mit au point avec succès un tel modèle qui fut perfectionné ultérieurement. Cependant un tel modèle ne créé aucune préférence pour le choix de l'unité. Soundararajan et Oliver améliore encore le modèle en mettant en jeu la conjecture des premiers k-tuples. Conjecture émise par G. H. Hardy and J. E. Littlewood en 1923 qui donne une estimation de la quantité de fois qu'une constellation de premiers se produit, généralisation de la conjecture des premiers jumeaux. Les deux mathématiciens y ont trouvé un air de similitude, le même biais.
Exemples selon mes calculs. 17% (ou 17,7%) des nombres premiers terminés par 1 sont suivis par un autre premier terminé lui aussi par 1. À peu près la même chose pour 3, 7 et 9 (diagonale en jaune). Conclusion: moins de 20¨% des premiers sont suivis d'un premier de même unité. Sur ce graphique, en bleu les préférence pour chaque chiffre-unité.	Pour n de 7 à 10 millions Pour n de 1 à 100 millions

Source: Mathematicians Discover Prime Conspiracy – Erica Klarreich – 13/04/2016 – Quanta Magazine

QUESTIONS OUVERTES concernant les nombres premiers
Les quatre problèmes de Landau	Non résolus en 2017
Premiers jumeaux (1849).	En nombre infini ?
Tout nombre pair est la somme de 2 premiers: conjecture de Goldbach (1742).	?
Premier de la forme n² + 1.	En nombre infini ?
Au moins un premier entre n² et (n+1)².	Vrai ?
Premier de Fermat (1859).	En nombre infini ?
Premier de Fermat: en existe-t-il un seul après le quatrième.	?
Progression arithmétique entre premiers: la plus longue connue comporte 10 nombres.	Longueur infinie ?
Progression arithmétique de 3 premiers consécutifs (si non consécutif, la série est infinie).	En nombre infini ?
Premiers de la forme n² + 1 (Landau, 1912)	En nombre infini ?
Premier de la forme n² – n + 41.	En nombre infini ?
Premier de la forme n² – 79n + 1601.	En nombre infini ?
Premier de la forme n ! 1.	En nombre infini ?
Premier de la forme n# – 1 (primoriel n).	En nombre infini ?
Nombre de Fibonacci contient des premiers.	En nombre infini ?
Si p est premier : 2^p – 1 est divisible par le carré d'un nombre premier.	Toujours ?
Hypothèse de Riemann (1859)
Conjectures de Polignac

MAJORANT
Affirmation Le nombre premier p de rang k est inférieur à 2^k à partir du rang 2. Démonstration par induction
Pour k = 2, C'est vrai.	3 < 2^2
Supposons la formule vraie pour n L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.	pk < 2^k pk+1 < 2^k+1 ?
Or, le théorème de Bertrand affirme qu'il existe toujours un nombre premier entre =>	pk et 2pk
Ce qui veut dire que le prochain premier après pk	pk+1 < 2pk
En cascade	pk+1 < 2pk < 2 x 2^k = 2^k+1
Exemples	5 < 2^3 = 8 7 < 2^4 = 16 11 < 2^5 = 32

Devinette – Solution

Question

Pouvez-vous trouver tous les nombres premiers p

tels que 5p + 1 soit un carré?

Réponse

Généralisation

En fait, toutes les valeurs en conviennent. Le tableau montre les deux familles de solutions avec en tête les solutions vues ci-dessus.

Tableau

Bilan

Grand cas pour simplement avoir explicité le calcul de 5p + 1 = (5k 1)²

Ex: sur la première ligne 5k + 1 = 6 et 5k – 1 = 4.

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Merci à Jean-Dany D.

Suite	Infinité de nombres premiers Premiers et nombre e Nombres premiers – Index
Voir	Théorie des nombres Théorèmes sur les nombres premiers
Site	Visualizing The Distribution Of primes Numbers – Pulchritudinous Primes – Pour les images étonnantes Component interactions of the prime numbers** – Ernest G. Hibbs – 2022 – pdf 212 pages
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/propriet.htm