NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Théorème et ses formes équivalentes >>> Autres formulations >>> Explications et suite >>> Encadrement des nombres premiers

NP: Nombres premiers

Théorème des

NOMBRES PREMIERS

La proportion de nombres premiers tend vers 0 pour n très grand.

Autrement dit:

Le pourcentage de nombres premiers existants est nul.

Voir Pourcentage

Théorème fondamental des nombres premiers
Formes équivalentes Le k-ième nombre premier est voisin de : La quantité de nombres premiers inférieurs à n est environ: La densité de nombres premiers autour de n est environ d 1 / ln (k). L'écart moyen entre deux premiers consécutifs est environ e ln (n). Notez bien la mention "environ". Valeurs d'autant plus proches que n est grand. Exemple de calcul pour n = 100 et k = 25

Anglais: Prime Number Theorem 

Voir Écarts entre nombres premiers / Barre magique des nombres premiers

Merci à Jean-Michel Moinade pour ses remarques

Autres formulations
Théorème Autre formulation Encore plus proche	Legendre (1752-1833) donna cette première approximation. Gauss (1777-1855) aurait découvert cette relation à l'âge de 15 ans en 1792. En 1896, indépendamment, Hadamard et La Vallée-Poussin, l'ont démontré. En 1949, Erdös et Selberg découvrent une démonstration plus simple. La formulation ci-contre est de Hardy et Wright (1979). La fonction avec crochets-bas est la fonction plancher. On notera bien que: ces formules ne permettent pas, de trouver directement les nombres premiers.

Explications et suite

Théorème

La quantité de nombres premiers inférieurs à x tend asymptotiquement vers x/log x:

On a amélioré l'approximation en prenant:

Tableau en puissances de dix

n	Pi(n)	n/log n	n/(log n -1)
1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000	168 1229 9592 78498 664579 5761455	145 1086 8686 72382 620420 5428681	169 1218 9512 78030 661459 5740304

La distribution des premiers semble aléatoire, mais la fonction Pi(n) est étrangement bien réglée 

Voir Historique

Théorème

La probabilité que n soit

un nombre premier est

environ 1 / ln n

Puisque n / ln n des n entiers positifs inférieurs à n sont premiers, la probabilité pour l'un d'eux soit premier est environ 1 / ln n.

Exemple

Pour trouver une nombre premier à 1000 chiffres, il faudra 1/(1/log n) soit 2302 test d'entiers pour en trouver un premier.

En éliminant les nombres divisibles par 2 et par trois, je réduis ce nombre par 1/2 x 2/3

Encadrement des nombres premiers

Théorème

Le nième premier est approximativement

p(n) n ln n

ou mieux,

p(n) n(ln n + ln ln n – 1)

Le millionième premier est: 

n = 1 000 000

n ln n n(ln n + ln ln n – 1) Réalité

13 800 000 15 400 000 15 485 863

Notez que n est le rang du nombre premier.

Suite et développements en Encadrement des nombres premiers

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Attention – Notations
Logarithme base e ou logarithme népérien ou logarithme naturel	ln(x) ou Log (x)
Logarithme base 10 ou Logarithme décimal	log(x)
On passe de l'un à l'autre par la formule:	ln(x) = 2,3026… x log(x)

Suite	Historique de Pi(n) Fonction Pi (n) Encadrement des nombres premiers Propriétés des nombres premiers Hypothèse de Riemann Nombres premiers – Index FAQ sur les nombres premiers
Voir	Liste de nombres premiers Consécutifs Facteurs premiers autour de 1000 Jumeaux Nombres composés Premiers en tableaux, en spirales … Représentation des nombres Séquences
Site	Fonction de compte des nombres premiers – Wikipédia Prime counting function – Wolfram MathWorld OEIS A000720 – pi(n), the number of primes <= n Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers – Pierre Dusart - 1998
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier\densite.htm