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Édition du: 22/11/2024 |
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INDEX |
Nombre PREMIERS |
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Nombres premiers & Bases de numération Est-ce qu'un
nombre premier en base décimale
reste premier dans une autre base
de numération ? |
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Sommaire de cette page >>> Premier selon la base de numération ? >>> Coin du matheux |
Débutants Glossaire |
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Question Est-ce
qu'un nombre premier en base décimale demeure premier dans d'autres bases? Réponse OUI !
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Question Une suite de chiffres
peut-elle représenter un nombre premier dans une base mais un nombre composé
dans une autre base ? Réponse OUI ! |
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Explications Le
fait d'être premier ou composé est simplement une propriété du nombre
lui-même quelle que soit la façon dont il est écrit. Imaginez
avoir N cailloux et disposez les en formation rectangulaire. Si vous ne
pouvez faire qu'une rangée, la quantité de cailloux est un nombre premier. Vous
notez que cette propriété subsiste quel que soit le nom que vous lui donner.
Par exemple n = 15 en décimal, F en hexadécimal ou même XV en chiffres
romains. Mais c'est le même alignement de cailloux. |
Explications Supposons
qu'une chaîne de trois chiffres représente un nombre premier positif p dans
une base donnée b, où b est un entier supérieur à 1. Évidemment,
p doit être un nombre premier impair. Si
nous changeons b en b+1, alors la chaîne de trois chiffres qui représentait
un nombre premier impair représente maintenant un nombre pair positif
supérieur à 2, qui doit donc être composé. |
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Voir Brève
59-1165
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Opérations préservées La
représentation d'un nombre dans diverses bases préserve
les opérations d'addition et de multiplication sur les entiers (isomorphisme
d'anneau). Cela se démontre. Voir
le principe ci-contre |
Principe de la démonstration Si n → r(n) est l'application de n vers sa
représentation en base d, alors elle préserve l'addition
r(m + n) = r(m) + r(n), et la multiplication r(m٠n) = r(m) ٠ r(n), et r
a un inverse s qui préserve également
l'addition et la multiplication (on dit que : r est un isomorphisme d'anneau).
Cela implique simplement
que la relation de divisibilité est fidèlement préservée dans la
représentation en base, car la relation de divisibilité peut être exprimée
comme une équation impliquant uniquement des opérations arithmétiques (en
anneau) (à savoir la multiplication), et de telles équations sont
nécessairement préservées par les applications r
et s. |
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Démonstration
Source: Is
a prime number still a prime when in a different base? – Mathematics |
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