NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Nombres à motifs
Débutants Général	PANNUMÉRIQUES				Glossaire Général
INDEX Motifs Magie	Pannumériques		Nombres & Carrés PN	Produits PN
	123 456 789		381 654 729	PN & Repdigits
	Puissances pannum.		Pi pannumérique	Puissances de 2 pannum.
		Sommaire de cette page >>> Grille carrée pannumérique >>> Nombre et sa puissance = pannumérique >>> Nombre et carré >>> Les carrés différents >>> Nombre et cube >>> Nombre et puissance 4 >>> Nombre et puissance de 5 à 11 >>> Carré de nombres = pannumériques >>> Programmation

PN: Pannumériques / Anglais: pandigital

NOMBRES PANNUMÉRIQUES

CARRÉS

Trois types de pannumériques avec carrés:

Les neufs chiffres dans une grille carrée >>>

Le nombre et son carré sont pannumériques >>>

Le carré est un nombre pannumérique >>>

Un carré pannumérique

Problème

Avec tous les chiffres, remplir le carré avec tous les chiffres de 1 à 9.

A	1	2	3
B	4	5	6
C	7	8	9

Trouver leur disposition pour que

B = 2A

C = 3A

Solutions

2	1	9	3	2	7
4	3	8	6	5	4
6	5	7	9	8	1

Pour la solution de droite, on observe également que les sommes des couples « rangée / colonne » correspondantes sont égales:

N°1:	3 + 2 + 7	= 7 + 4 + 1	= 11
N°2:	6 + 5 + 4	= 2 + 5 + 8	= 15
N°3:	9 + 8 + 1	= 3 + 6 + 9	= 18

Tous les chiffres sont dans le nombre et son carré

CERNER LES RECHERCHES

Il s'agit de trouver un nombre qui, avec son carré, utilisent tous les chiffres. Remarquons que les deux nombres doivent totaliser 9 chiffres. N N² Qté de chiffres 9 81 3 99 9 801 6 100 10 000 8 999 998 001 9 1 000 1 000 000 11 9 999 99 980 001 12 Le nombre N doit donc être compris entre 100 et 999. Affinons: 100 10 000 8 300 90 000 8 316 99 856 8 317 100 489 9 999 998 001 9 Il est possible d'éliminer tous les grands N dont les chiffres se répètent. 317 100 489 9 987 => limite haute  999 998 001 9 Autre idée pour limiter la recherche: par principe, chaque chiffre ne doit intervenir qu'une seule fois. Un chiffre des unités qui donnerait le même chiffre des unités dans le carré, n'est pas possible. Soit Nu (N suivi du chirres des unités) le nombre et Cu, le carré. N0 C0 à éliminer N1 C1 à éliminer N2 C4 N3 C9 N4 C6 N5 C5 à éliminer N6 C6 à éliminer N7 C9 N8 C4 N9 C1 Bilan: il faut balayer tous les nombres suivants: 317 318 319 322 323 324 327 328 329 332 333 334 … 977 978 979 982 983 984 987

NOMBRE et son CARRÉ – Solutions
Avec beaucoup de patience ou, … un peu de programmation, les deux vraies solutions se présentent: N C = N² 567 321 489 807 651 249 (avec 0 et sans 3) 854 729 316

Voir Nombre 567 / Nombre 854

LES CARRÉS DIFFÉRENTS

Trouver un nombre qui avec son carré n'utilisent aucun chiffre identique, mais par forcément tous les chiffres (comme ci-dessus). N N ^2 N N ^2 2 4 54 2 916 3 9 57 3 249 4 16 59 3 481 7 49 72 5 184 8 64 79 6 241 9 81 84 7 056 17 289 209 43 681 18 324 259 67 081 24 576 567 321 489 29 841 807 651 249 53 2 809 854 729 316 Ces sont les seuls. Les trois derniers sont nos pannumériques (tous les chiffres).

NOMBRE ET CUBE
Trouver un nombre qui avec son cube utilisent tous les chiffres. Cherchons à centrer la solution: N N ^3 Qté de chiffres 99 970 299 8 100 1 000 000 10 On passe directement de 8 à 10 chiffres Il n'y a pas de solutions avec les neufs chiffres, sans le zéro. Ni avec le zéro. Les seules valeurs avec aucun chiffre identique sont: N N ^3 2 8 3 27 8 512 27 19 683

NOMBRE ET PUISSANCE 4
Trouver un nombre qui avec sa puissance 4 n'utilisent aucun chiffre identique Il existe un seul pannumérique: N N ^4 2 16 3 81 4 256 7 2 401 8 4 096 32 1 048 576

NOMBRE ET PUISSANCE de 5 à 11
Trouver un nombre qui avec sa puissance 5 à 11 n'utilisent aucun chiffre identique. Les seules valeurs sont indiquées ci-dessous: N N ^5 N ^6 N ^7 N ^8 N ^9 N ^10 N ^11 2  / 64  /  /  /  /  / 3  / 729 2 187  /  /  /  /

Le carré est un nombre pannumérique

ou, quels sont les pannumériques dont la racine est un entier?

Racine de PN = N
Il existe 3 628 800 nombres pannumériques (0 à 9). Aucun pannumérique avec les chiffres de 1 à k avec k = 1 à 7 n'est un carré. Il existe 5 pannumériques avec les chiffres de 1 à 8 (ci-contre).
Pannumérique SANS le 0 30 cas	Pannumérique AVEC le 0 87 cas

Pannumérique comme puissance d'un nombre

Carrés 117cas

Cubes Aucun

Puissance > 3 Aucun

Voir Puissances pannumériques: puissances avec au moins tous les chiffres

Carrés à chiffres consécutifs

Programmation – Recherche des racines entières
	Commentaires Remise à zéro et initialisation d'un compteur d'occurrences (kt). Liste des chiffres (ici, les 10, mais choix possible). D'où qL pour obtenir la quantité de chiffres choisie. Appel du package logiciel relatif à la combinatoire pour pourvoir exécuter la permutation des chiffres. Boucle sur la quantité de permutation (3 628 800 avec les dix chiffres). Sélection d'une des permutations dans NN. Calcul du nombre associé aux chiffres de cette permutation. L'instruction sum opère le cumul à partir de 1 et jusqu'à la quantité de chiffres choisie (qL). Calcul de la racine voulue (ici, racine carré). Si la racine st entière faire l'impression de cette racine et du pannumérique associé. Fin de condition et fin de boucle. Pour obtenir le résultat de ce calcul (les 30 + 87 = 117 cas vus ci-dessus), il faudra attendre une dizaine de minutes. Le kt final donne justement la quantité de cas trouvés.

Suite	Carrés, cubes et puissances pannumériques Produits pannumériques Nombre 123456789 Racines pannumériques Puissances pannumériques
Voir	Nombre phénix ou de Lewis Carroll Nombre magique 142857
Aussi	Croix pannumérique Jeux – Index Rep-Digit Rep-Unit Triangle magique pannumérique
DicoNombre	Nombre 567 Nombre 854
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PanNumCa.htm