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CALCUL des CARRÉS

Nous nous proposons de calculer mentalement tous les carrés des nombres de 1 à 100.

Certains calculs sont faciles et peuvent être faits purement de tête.

D'autres sont plus complexes et peuvent servir d'exercices de calcul en calculant mentalement les opérations posées sur un papier ou sur l'écran de l'ordinateur.

Sur cette page nous donnons la méthode de calcul générale et sur les suivantes, les trucs permettant le calcul mental.

Bon à savoir

Le carré d'un nombre à n chiffres aura 2n – 1 ou 2n chiffres (11² = 121, … 31² = 961, 32² = 1024, … et 99² = 9801).

Les nombres à partir desquels le carré prend un chiffre de plus pour n avec le même nombre de chiffres : [32, 1024], [317, 100489], [3163, 10004569], [31623, 1000014129], [316228, 100000147984]

Un carré à k chiffres est le carré d'un nombre à k/2 chiffres si k est pair et 1/2 (k + 1) chiffres si k est impair.

Trucs simples de calcul mental
Cas général Exemple 96² = 100 x 92 + 4² = 9216 Procédé: ajouter 4 pour arriver à 100 et les retrancher (92); faire le produit des deux (9200) et ajouter le carré de l'écart (4² = 16). Propriété: (a + d)(a – d) + d² = a² Autre exemple: Suite >>>
Cas simple Exemple Je ne me souviens plus du carré de 7; J'hésite! Procédé: prendre les deux nombres autour de 7, les multiplier et ajoutez 1: Propriété: (a + 1)(a – 1) + 1 = a²	7² = 6 x 8 + 1 = 48 + 1 = 49 101² = 100 x 102 + 1 = 10 200 + 1 = 10 201

Voir Calcul mental – Index / Table de multiplication / Identités remarquables

Calcul mental des carrés – Récapitulatif des règles
Notations	N = 10d + u d' et u' compléments à 10		26 = 2 x 10 + 6 d' = 8 et u' = 4
Cas général
Propriété: (10d + u)² =100d² + u² + 20du			19² 0181; 180 361 23² 0409; 120 529 46² 1636; 480 2 116 99² 8181; 1620 9 801
Règles générales en recherchant la dizaine la plus proche
En + Propriété: a² = (a-b)(a+b) + b²				11² 10x12; 1² 121 15² 10x20; 5² 225 42² 40x44; 2² 1 764 101² 100x102; 1² 10 201 122² 100x144; 22² 14 400 + 484 = 144 884
En –				19² 20x18; 1² 361 17² 20x14; 3² 289 48² 50x46; 2² 2 304 99² 100x98; 1² 9 801 119² 100x138; 19² 13 800 + 361 = 14 161
Trucs associés
Calcul de produits Propriété: (a-b)(a+b) = a² – b²		N x M avec N = 10d + u et M = 10d – u		23 x 17 = 20² – 3² = 391 55 x 65 = 60² – 5² = 3 575 115 x 85 = 100² – 15² = 10 000 – 225 = 19 885

Petits trucs en plus, amusants!
Nombres en …5	N² = d x (d+1), puis 25	35² 3 x 4 1 225 105² 10 x 11 11 025
Nombres en …1	D² + 2D + 1 avec D dizaine inférieure	21² = 20² + 40 + 1 = 441 71² = 70² + 140 + 1 = 5 041 131² = 130² + 260 + 1 =16 900 + 260 + 1 = 17 161
Nombres en …9	D² – 2D + 1 avec D dizaine supérieure	19² = 20² – 40 + 1 = 361 59² = 60² – 120 + 1 = 3 481 119² = 120² – 240 + 1 = 14 400 – 240 + 1 = 14 361
Nombres autour de 50 Propriété (50+R)² = 2500+100R+R²	25 + R, puis R² (2 chiffres) Avec R = différence à 50	52² 25+2; 4 2 704 57² 25+7; 49 3 249 49² 25-1; 1 2 401 42² 25-8; 64 1 764
Nombre suivant	(N+1)² = N² + 2N + 1	101² = 10 000 + 201 = 10 201
Nombre précédent	(N+1)² = N² – 2N +1	99² = 10 000 – 200 + 1 = 9 801

Règles particulières (pour la curiosité; les deux règles ci-dessus suffisent)
Nombres 100^Plus	N² = N + u, puis u² (2 chiffres)	102 102+2; 2² 10 404 105² 105+5; 5² 11 025
Nombres 100^Moins	N² = N – u', puis u'² (2 chiffres)	98² 98-2; 2² 9 604 97² 97-3; 3² 9 409
Nombres 10^Plus Propriété sur exemple 27² = (30 + 3)² = 30² +2x3x60 + 3² = 30(30-6) + 3² = 30x24 + 3²	N² = Dx(10D + 2u'), puis u'²	22² 2x(20+4); 2² 484 62² 6x(60+4); 2² 3 844 33² 3x(30+6); 3² 1 089 106² 1x(100+12); 6² 11 236
Nombres 10^Moins	N² = Dx(10D – 2u'), puis u'²	18² 2x(20-4); 2² 324 58² 6x(60-4); 2² 3 364 27² 3x(30-6); 3² 729 98² 1x(100-4); 2² 9 604

Méthode générale de calcul des carrés

Nous décomposons le nombre en dizaines et unités et nous utilisons les identités remarquables pour calculer le carré.

Formule

N = 10d + u

N² = (10d + u)²

= 100d² + 20du + u²

Exemple

23² = 4 x 100 + 20 x 2 x 3 + 9

= 400 + 120 + 9

= 529

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: concaténez le carré des dizaines et celui des unités pour former un nombre à quatre chiffres.

Ajoutez deux fois le produit dizaines-unités en tant que dizaines.

Attention à la propagation des retenues!

M	C	D	U
d²
		u²
2du

Illustration

Exemples de calcul

53² = 2 809

M	C	D	U
2	5
		0	9
	3	0
2	8	0	9

88² = 7 744

M	C	D	U
6	4
		6	4
1	2	8
7	7	4	4

Avec un nombre à trois chiffres, le même procédé peut être appliqué.

Surtout, si on connaît le carré d'un groupe de chiffres, comme:

25² = 625

12² = 144

88² = 7 744

125² = (100 + 25)²

= 10 000 + 2 x 100 x 25 + 625

= 15 625

212² = (200 + 12)²

= 40 000 + 2 x 200 x 12 + 144

= 44 944

888² = (800 + 88)²

= 640 000 + 2 x 800 x 88 + 7744

= 788 544

Voir Unités des carrés

Cas des unités supérieures à 5

Remarquez:

58 = 60 – 2 = 60 – (8 – 2)

2 est le complément à 10 de 8.

Noté u'

Formule

N = 10d + u = 10(d+1) – u'

N² = 100(d+1)²
- 20(d+1) u' + u'²

Exemple

28² = 100 x 9 – 20x3x2 + 2²

= 900 – 120 + 4 = 784

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: faire les opérations indiquées ci-dessous:

M	C	D	U
(d+1)²
		u'²
– 2(d+1)u'

Exemples de calcul

29² = 841

d+1 = 3 et u' = 1

M	C	D	U
0	9
		0	1
–		6
	8	4	1

77² = 5 929

d+1 = 8 et u' = 3

M	C	D	U
6	4
		0	9
–	4	8
5	9	2	9

98² = 9 604

d+1 = 10 et u' = 2

M	C	D	U
10	0
		0	4
–	4	0
9	6	0	4

Méthode alternative, souvent plus rapide

Procédé

La méthode alternative consiste à visualiser un rectangle dont les dimensions sont simplement:

largueur = 10d (les dizaines),

longueur = N + u (nombre plus unité).

Le carré de N est le produit de ces deux nombres plus u².

Exemples

12² = 10 x 14 + 4 = 144

23² = 20 x 26 + 9 = 529

34² = 30 x 38 + 16 = 1 156

45² = 40 x 50 + 25 = 2 025

56² = 50 x 62 + 36 = 3 136

67² = 60 x 74 + 49 = 4 489

78² = 70 x 86 + 64 = 6 084

89² = 80 x 98 + 81 = 7 921

91² = 90 x 92 + 1 = 8 281

Voir Calcul des racines qui fait aussi appel à ce type de représentation géométrique

Ce que nous avons appris

Nous savons calculer le carré d'un nombre à deux chiffres selon trois méthodes, par ordre de facilité croissante:

La multiplication classique;

La méthode de calcul mental générale; et

La méthode de calcul mental alternative.

Cependant, même la dernière méthode reste encore ardue pour un calcul de tête.

Les pages suivantes abordent les tactiques particulières pour faciliter le calcul selon les chiffres des unités ou des dizaines.

Cas des nombres terminés par 9

Un nombre terminé par 9 est égal à la dizaine supérieure moins 1. Son carré est alors très facile à calculer.

Exemple: 29 = 30 – 1 = (a – 1)

(a – 1)²	=	a²	–	2a	+ 1
29²	=	30²	–	60	+ 1	=	841
79²	=	80²	–	160	+ 1	=	6 241
129²	=	130²	–	260	+ 1	=	16 641

Méthode

Voir Suite et exemples

Nombre à trois chiffres et plus

Calcul du carré de N = = 1000m + 100c + 10d + u
On isole chacun des chiffres: m milliers, c centaines, d dizaines et u unités. On procède au calcul des termes dans les cases jaunes: les carrés des chiffres et le double des produits deux à deux. On additionne dans chaque colonne en propageant la retenue éventuelle. L'exemple donne: 4321² = 18 671 041	Tableau pour quatre chiffres
Identité utilisée	(1000 m + 100 c + 10 d + u )² =
Comparaison avec la méthode de multiplication habituelle. La méthode par multiplication posée a l'avantage d'être universelle. La méthode par identité remarquable est plaisante, mais ne remplacera pas la bonne vieille méthode apprise à l'école.