NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 16/10/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Division – définition >>> Démonstration - p et q existent >>> Démonstration - p et q uniques >>> Démonstration avec entiers et décimaux >>> Propriétés et pièges

La France est le seul pays du monde où, si vous ajoutez dix citoyens à dix autres, vous ne faites pas une addition, mais vingt divisions.

Pierre Daninos

Voir Pensées & humour

DIVISION On la connaît bien, sinon se reporter à la page débutant. On la redoute parfois. Il faut bien la définir un jour. Voici une page donnant le formalisme approprié.

27 / 13 = 2 reste 1. ou 27 = 13 x 2 + 1

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

Division de a par b	a divise b	Valeur absolue de a	PGCD de (a, b)	PPCM de (a, b)
a / b	ab	a	(a, b)	[a, b]

Voir Notations de la division

DIVISION – Définition

Définition La dernière ligne indique que le reste doit être inférieur au diviseur, sinon, comme on disait à l'école, il y va une fois de plus. Formulation narrative Soit , alors, il existe des entiers q et r tels que: De plus, si a n'est pas divisible par b, alors . Anglais Given any integer a and b, with a > 0, there exist unique integers q and r such that If a is not divisible by b, then r satisfies the stronger inequality .

Voir Jeux du 100 en 6 chiffres (Hectoc)

DÉMONSTRATION – q et r existent
Une démonstration pourquoi faire? Il est bien sûr évident que la division est comme cela! Mais, les mathématiciens ne l'entendent pas de la sorte. En particulier, pourquoi q et r seraient uniques ? On va donner la démonstration en deux temps: La division existe: on trouve toujours les valeurs de q et r, La division est unique: il n'y a qu'un seul couple de valeurs q et r.
On forme une progression arithmétique, de raison a: Exemple avec a = 13 et b = 27:	… , b – 3a , b – 3a , b – a , b + a , b + 2a , b + 3a , … –25, –12, 1, 14, 27, 30
Choix de cette progression: Du fait de la définition de la division: Notez l'air de famille avec le reste.	b – k.a b = a.q + r ou r = b – a.q
Dans cette suite, il existe un plus petit nombre positif.	Ici, c'est 1 que l'on baptise qui n'est autre que r. Et r est plus petit que a.
Avec cette valeur de r, on calcule q	b = a . q + r

Illustration du fait que r est bien inférieur à a

En partant de b = 27, je retire autant de fois a = 13 que je le peux, sans passer en négatif. Ce point est obtenu pour r = 1 et, il est bien situé dans la zone de 0 à a = 13 (jaune).

DÉMONSTRATION – q et r sont uniques
Nous connaissons déjà. Supposons l'existence d'un autre couple qui satisfasse les mêmes conditions. Des deux r et r', l'un est plus grand que l'autre. On pose:	q et r d	q' et r' = r – r'
Selon la définition de la division les conditions sont les suivantes:	b = a . q + r	b = a . q' + r'
Différence des restes: première évaluation. Avec les égalités de la division.	r = r' = r – r' = d =	b – a.q b – a.q' a (q – q') a.Q
Le quotient a est diviseur de la différence. Or, un diviseur est plus petit que le nombre qu'il divise.	a a <	(r – r') d
Différence des restes: seconde évaluation. Avec les inégalités de la division. Le nombre a est plus grand que r et que r'; il est a fortiori plus grand que leur différence.	a >	d
Ce raisonnement par l'absurde (faire une hypothèse contraire à ce qui doit être démontré) aboutit à une contradiction. l'hypothèse est fausse et l'affirmation que q et r sont uniques est vraie.

DÉMONSTRATION alternative impliquant parties entières et décimales
Unicité
Si les conditions suivantes sont vérifiées pour q et r	b = a . q + r
On peut aussi les écrire de la façon suivante	b/a = q + r/a
Avec r/a plus petit que 1	q est la partie entière de b/a	r/a en est la partie décimale
Or la partie entière d'un quotient est unique Même chose pour r qui est égal à b – a.q	q est unique	r aussi
Existence
Supposons les deux entiers définis par	q = partie entière de b/a	r = b - a. q
La première partie de la définition de la division est vérifiée	b =	a. q + r
Le quotient b/a diminué de sa partie entière q donne sa partie décimale	partie décimale = b/a – q
Elle est comprise entre 0 et 1
Or cette expression peut être évaluée à partir de l'expression de b	b = b/a = b/a - q =	a. q + r q + r/a r/a
Remplaçons dans l'inégalité
En multipliant par a*
*Nous sommes toujours dans le monde des entiers positifs On pourrait reprendre toutes ces démonstrations pour tenir compte de tous les cas de figures Ce n'est pas l'objet de ce site à vocation d'initiation seulement.

Bilan

La division est parfaitement définie, et nous savons qu'elle est unique. Elle n'admet qu'un seul quotient et qu'un seul reste. Nous allons utiliser ces résultats pour trouver le plus grand commun dénominateur (PGCD) de deux nombres et découvrir l'algorithme d'Euclide.

Propriétés et pièges
Division par 0.		Impossible
0 divisé par a non nul égal 0.
Diviser par 1 conserve le nombre.
Un nombre divisé par lui-même donne 1.
L'ordre entre numérateur et dénominateur est important.
Étages – multiplication.
Étages – division.
Divisibilité. On écrit en abrégé
Lemme d'Euclide	Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b.c, alors p divise b ou c.
Lemme de Gauss	Si a et b sont premiers entre eux et si a divise le produit bc, alors a divise c.

Voir Démonstration du lemme

Anglais

Divisibilité – Démonstration

Si ac bc alors il existe un entier k tel que ack = bc ou c (ak – b) = 0.

Le nombre c étant non nul, c'est le deuxième facteur qui l'est: ak – b = 0.

C'est la définition de la divisibilité de a par b. a b

Suite	Application (PGCD, algorithme d'Euclide) Division en terminale spé.
Autour	La division en pratique c'est quoi? – Débutant La division en résumé c'est quoi? – Glossaire Divisibilité par un nombre donné
Voir	Cryptage Des jeux sur les partages Jeux et puzzles – Index L'arithmétique de l'horloger Le calcul mental Théorie des nombres – Index
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