NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres

RUBRIQUE   PUISSANCES

Glossaire

Puissances

 

Sommes des carrés de nombres consécutifs

 

 

Sommaire de cette page

>>> Toutes les sommes jusqu'à 510

>>> Table n de 1 à 20 et k de 1 à 20

>>>  Égalité jusqu'à 10 000

 

 

 

 

 

TABLE: Somme des carrés de

k nombres consécutifs

à partir de n

 

Sn = n² + (n+1)² + … (n+k)²

 

Exemples:   S = 10² + 11² + 12² = 365

                        S = 13² + 14²          = 365

Voir Somme des carrés de nombres consécutifs /

Carrés et cubes sommes de trois cubes consécutifs

 

 

Carré somme de deux carrés consécutifs

haut

 

Triplet de Pythagore particuliers, comprenant deux nombres voisins.

 

Nombre N dont le carré est la somme du carré de n et du carré de son suivant (n+1).

 

C'est aussi la suite de Pell en prenant un nombre sur deux.

 

Chacun est égal à six fois le précédent moins cinq.
169 = 6
× 29 – 5.

  

 

Voir OEIS A001653

 

 

 

Quelques sommes de deux et de trois carrés consécutifs

5 =

12 + 22 =

02 + 12 + 22

365 =

132 + 142 =

102 + 112 + 122

35 645 =

1332 + 1342 =

1082 + 1092 + 1102

3 492 725 =

1 3212 + 1 3222 =

1 0782 + 1 0792 + 1 0802

342 251 285 =

13 0812 + 13 0822 =

10 6802 + 10 6812 + 10 6822

Voir Sommes deux fois de carrés consécutifs

 

 

 

TABLE - Toutes les sommes < 510 par ordre croissant

 

 

 

 

 

 

Table pour n de 1 à 20 et k de 1 à 20

 

Exemple de lecture:

n = 2 et k = 3, on lit 29

car c'est la somme de trois (k = 3) carrés consécutifs en commençant par 2 (n = 2) :  2² + 3² + 4² = 29.

Voir Liste de ces nombres par ordre croissant >>>

 

Notes

La première colonne donne le carré simple.

La première ligne donne les nombres pyramidaux carrés.

Les nombres entourés sont les seuls à être répétés: quatre couples;

Dont 365, le seul avec tous ses nombres consécutifs: 10² + 11² + 12² = 13² = 14² = 365.

 

 

Observations

La colonne de vingt termes de suite se termine par un 0..

La colonne de dix termes de suite se termine par un 5.

Normal! Sur dix termes la somme des unités des carrés est toujours: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 dont la somme vaut 45; et voilà notre 5 pour dix  termes. Et une somme de 90 pour vingt termes; et voilà notre 0 systématique en dernière colonne à droite.
Notez la symétrie des chiffres des unités; elle explique l'alternance des 0 et des 5 dans les colonnes de cinq et de quinze termes.

 

 

Table des somme de carrés de a à b

Liste des nombres somme de puissances consécutives jusqu'à S = 1000

5, 13, 14, 25, 29, 30, 41, 50, 54, 55, 61, 77, 85, 86, 90, 91, 110, 113, 126, 135, 139, 140, 145, 149, 174, 181, 190, 194, 199, 203, 204, 221, 230, 245, 255, 265, 271, 280, 284, 285, 294, 302, 313, 330, 355, 365, 366, 371, 380, 384, 385, 415, 421, 434, 446, 451, 476, 481, 492, 501, 505, 506, 509, 510, 534, 545, 559, 590, 595, 613, 615, 620, 630, 636, 645, 649, 650, 677, 679, 685, 728, 730, 734, 761, 764, 770, 789, 805, 811, 814, 818, 819, 841, 846, 855, 869, 875, 924, 925, 955, 960, 966, 974, 985, 990, 1001, …

Même liste avec indication des bornes

[1,2,5], [2,3,13], [1,3,14], [3,4,25], [2,4,29], [1,4,30], [4,5,41], [3,5,50], [2,5,54], [1,5,55], [5,6,61], [4,6,77], [6,7,85], [3,6,86], [2,6,90], [1,6,91], [5,7,110], [7,8,113], [4,7,126], [3,7,135], [2,7,139], [1,7,140], [8,9,145], [6,8,149], [5,8,174], [9,10,181], [4,8,190], [7,9,194], [3,8,199], [2,8,203], [1,8,204], [10,11,221], [6,9,230], [8,10,245], [5,9,255], [11,12,265], [4,9,271], [3,9,280], [2,9,284], [1,9,285], [7,10,294], [9,11,302], [12,13,313], [6,10,330], [5,10,355], [10,12,365], [8,11,366], [4,10,371], [3,10,380], [2,10,384], [1,10,385], [7,11,415], [14,15,421], [11,13,434], [9,12,446], [6,11,451], [5,11,476], [15,16,481], [4,11,492], [3,11,501], [2,11,505], [1,11,506], [12,14,509], [8,12,510], [10,13,534], [16,17,545], [7,12,559], [13,15,590], [6,12,595], [17,18,613], [9,13,615], [5,12,620], [11,14,630], [4,12,636], [3,12,645], [2,12,649], [1,12,650], [14,16,677], [8,13,679], [18,19,685], [7,13,728], [10,14,730], [12,15,734], [19,20,761], [6,13,764], [15,17,770], [5,13,789], [4,13,805], [9,14,811], [3,13,814], [2,13,818], [1,13,819], [20,21,841], [13,16,846], [11,15,855], [16,18,869], [8,14,875], [7,14,924], [21,22,925], [10,15,955], [6,14,960], [14,17,966], [17,19,974], [5,14,985], [12,16,990], [4,14,1001], …

 

 

 

ÉGALITÉS jusqu'à S < 10 000

 

Les premières égalités se lisent:

 

*      5² = 3² + 4² = 25, célèbre triplet de Pythagore

*      10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365, pépite car unique somme de carrés purement consécutifs de part et d'autre du signe égal.

*      29² = 20² + 21² = 841, fait partie des nombreux triplets de Pythagore dont deux nombres sont consécutifs.

*      26² + 27² = 7² + 8² + … + 29² = 1 405.

*      Etc.

 

Au-delà, les égalités se multiplient. Comme celle-ci:

110 110

      = 18² + … +   69²

      = 95² + … + 105²

 

 

 

 

 

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