NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FORMES des nombres

 

Débutants

Général

NOMBRES AUTOMORPHES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Formes des nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Automorphes e longueur k

>>> Démonstration

>>> Automorphes généralisés

>>> Trimorphes

 

 

 

NOMBRES AUTOMORPHES

ou nombres circulaires 

 

 

Motif qui se répète dans le carré.

Exemple: 25² = 625

 

Nombres N tels que: N² – N  = N (N – 1) = 10k x M

Exemple: 25² – 25 = 25 x 24 = 600

Anglais: Automorphic numbers or circular numbers

 

 

Approche

 

*    Le carré se termine par le nombre lui-même.

*    Les deux seuls nombres automorphes inférieurs à 100.

 

 

       25²   =                    625

       76²   =                 5 776

 

90 625²   = 8 212 890 625

Voir Nombres plaqués /   Nombre 25 / Nombre 76

 

 

Construction pour deux chiffres

 

*    Si le produit d'un nombre avec son voisin est un multiple de 100, lui ajouter ce nombre.

 

 

n (n – 1) = 100k

100k + n

et n (n – 1) – n = n²

76 x 75 = 5700

      + 76 = 5776

et     76² = 5776

 

 

Automorphes de longueur k

 

Pour tout k > 1, il existe deux nombres automorphes avec k chiffres.

 

 

Exemple k = 10

8 212 890 625² = 67 451 572 418 212 890 625

1 787 109 376² =   3 193 759 921 787 109 376

Ces nombres se calculent facilement

 

Programme Python

 

Programme Maple

 

Nombres automorphes de longueur k pour k jusqu'à 10, avec leur carré

 

Note: si le nombre affiche moins de k chiffres, c'est que les premiers sont des 0.

 

Nombres automorphes avec k jusqu'à 26

Notez que chaque nombre est égal au précédent avec un chiffre significatif en plus.

Voir ProgrammationIndex  / Brève N° 509

 

 

 

Les automorphes à 2, 3 ou 4 chiffres – Démonstration

 

Deux chiffres pour a

a² - a doit se terminer par 00  (Ex: 625 – 25 = 600).

a (a – 1) est divisible par 100 = 4 x 25.

Un des facteurs est multiple de 4 et l'autre de 25.

*    Si a  = 25k, alors a – 1 = 25k – 1 = 4h; seule possibilité pour k = 1.

Une des solutions est: a = 25 et a² = 625.

*    Si a – 1  = 25k, alors a = 25k + 1 = 4h; seule possibilité pour k = 3

L'autre solution est: a = 75 + 1 = 76 et a² = 5 776

 

Trois chiffres pour a

a (a – 1) est divisible par 1000 =  8 x 125.

*    Si a = 125k, alors a – 1 = 125k – 1 = 8 x 15k + (5k – 1) = 8h. Il faut que 8 divise 5k – 1. Seule possibilité avec k = 5. et a = 625.

*    Si a – 1 = 125k, alors a = 125k + 1= 8 x 15k + (5k + 1) = 8h. Seule possibilité k = 3 et a = 376.

 

Quatre chiffres pour a

a (a – 1) est divisible par 10 000 =  16 x 625.

*    Si a = 625k, alors a – 1 = 625k  - 1  = 624k + (k – 1) = 16h. k = 17  et a = 10 625 qui a plus de quatre chiffres

*    Si a – 1 = 625 k, alors a = 625k + 1 = 624k + (k + 1) = 16h. k = 16 et a  = 9 376, la seule solution.

 

 

 

 

Nombres automorphes – Généralisation

 

Définition

 

 

Un nombre n,
tel que les derniers chiffres de a.n2
sont identiques à n,
est automorphe d'ordre égal à a.

 

 

Ex: 88² x 2 = 15 488

 

 

Ordre 1

N

N² avec 5

N² avec 6

5

25

 

6

 

36

25

625

 

76

 

5 776

376

 

141 376

625

390 625

 

9 376

 

87 909 376

90 625

8 212 890 625

 

 

Ordre a

a

N

a.N²

1

8

128

2

88

15 488

3

6 666 666 667

133 333 333 346 666 666 667

5

3 642 578 125

66 341 876 983 642 578 125

9

8 888 888 889

711 111 111 128 888 888 889

 

 

 

 

 

NOMBRES TRIMORPHES

 

 

 

 

Définition

 

Un nombre n tel que
les derniers chiffres de n3
sont identiques à n
est trimorphe.

 

Exemples

N

N3

1

4

5

6

9

24

25

49

51

75

76

99

125

249

251

375

376

499

1

64

125

216

729

13 824

15 625

117 649

132 651

421 875

438 976

970 299

1 953 125

15 438 249

15 813 251

52 734 375

53 157 376

124 251 499

 

 

 

Commentaires

On calcule la longueur du nombre avec le logarithme à base 10.
On teste les derniers chiffres avec un calcul modulo.

La séquence appelle la procédure pour les nombres de 1 à 900.

Résultat du traitement en bleu.

Voir ProgrammationIndex

 

Liste jusqu'à 10 000

1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999.

 

 

 

Nombre tri-automorphe (suite)

 

*    On retrouve le nombre initial en fin de 3n²
Il en existe 3 pour les nombres à 4 chiffres.

 

N

3N²

6 667

44 448 889

133 346 667

6 875

47 265 625

141 796 875

9 792

95 883 264

287 649 792

 

*    D'une manière générale, il y en a 3 pour tous les nombres à n chiffres.

 

6666666667

44444444448888888889

133333333346666666667

7262369792

52742014995754123264

158226044987262369792

9404296875

88440799713134765625

265322399139404296875


 

 

 

 

Suite

*       Nombres plaqués

Répétition des chiffres dans les puissances

*       Dizaine et unité des nombres et leurs puissances

Même type de sujets en

*    Terminaison des produits

*    Terminaison des puissances

Voir

*       Facteurs sans zéro

*       Motifs

*       Nombre 6 667

*       Palindromes

*       Pannumériques

Site

*       Nombres automorphes – Wikipédia

*       Automorphic number – Wolfram MathWorld

*       OEIS A033819 - Trimorphic numbers: n^3 ends with n

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