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	Carrés magiques
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HISTOIRE des CARRÉS MAGIQUES

Après une utilisation plutôt ésotérique, les carrés magiques ont été surtout le sport cérébral des intellectuels des derniers siècles.

La légende de la tortue

et carrés de LO SHU

Ce carré, selon une légende chinoise, aurait été révélé, à l'empereur Yü sur le dos d'une tortue au XXIII^e siècle avant J.-C. ( - 2200). Selon la littérature datant de 650 av. J.-C.

Selon le livre chinois Yih King: l'Empereur Yü marchait le long de la rivière Lo.

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4	9	2
3	5	7
8	1	6

Somme 15 sur lignes, colonnes et diagonales. Somme 20 sur sommets et côtés.

Utilisation ÉSOTÉRIQUE & ARTISTIQUE

Antiquité

Les Babyloniens ont utilisés les carrés magiques.

Les Égyptiens utilisaient les carrés magiques comme moyen de s'imposer aux ignorants et crédules

Le mathématicien égyptien Ibn al-Haytham (XI^e) développe des méthodes pour les construire

Les Pythagoriciens (école de Pythagore) aussi:

Carré magique d'ordre 2, qui n'existe pas est symbole de chaos;

Ordre 3: dédié au soleil;

Ordre 4: à la lune;

Ordre 5: aux étoiles;

Ces carrés étaient positionnés dans des figures géométriques, polygones du même ordre et cercles, complétés des signes du Zodiaque.

Le carré ésotérique SATOR TENET, ruines de Pompéi au début de notre ère.

Chine

On trouve des carrés magiques en Chine vers 300 av. J.-C.

Pour les Chinois, le carré magique symbolise l'harmonie de l'univers.

Les Chinois utilisaient les carrés magiques en astrologie, divination, décoration de porcelaines …

Les historiens ne constatent l'apparition du carré magique qu'au X^e siècle.

Inde

On les retrouve en Inde:

Le premier carré magique d'ordre 4 rapporté dans l'histoire est indien; il vient de la ville de Khajuraho (954).

Il date du XI^e ou XII^e siècle.
C'est le Chautisa Yantra, dont la somme magique est 34. Le yantra est un support de médiation hindoue. Ce carré est parfait: somme des carrés 2x2 = égal constante.

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Le carré 3x3 était connu depuis les temps Védiques et, il est toujours d'actualité. yantra de Ganesh, le dieu éléphant.

Pendit Narayama

Arabe

Abu al-Wafa' Buzjani, mathématicien perse écrit le livre de l'arrangement magique dans les carrés.

Japon

Les mathématiciens japonais ont beaucoup étudié les carrés magiques.

De l'orient vers l'Occident

Puis, on trouve les carrés magiques chez les Musulmans.

Ils sont nommés: arrangement harmonieux de nombres (wafq ala'dad).

Le carré magique pandiagonal d'ordre 5 avec le 1 au centre, symbole d'Allah, avait une signification mystique.

Et comme Allah, ne doit pas être représenté, le carré central restait blanc.

Les Arabes sont les premiers à considérer les carrés magiques comme des entités mathématiques et non plus comme des talismans.

Ils donnent des règles simples pour les construire.

Vers 983, les premiers carrés magiques d'ordre 5 et 6 sont publiés dans une encyclopédie publiée à Bagdad (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

Manuel Moschopoulos (vers 1270- vers 1316) écrit un traité sur les carrés magiques (1300), basé sur les travaux d'Arab Al-Buni.

Installation en Occident

À la Renaissance, Cornelius Agrippa (1486-1535) travaille sur les carrés magiques:

Il donne une signification astronomique aux carrés d'ordre 3 à 9: Saturne, Jupiter, Mars, Soleil, Vénus, Mercure, et Lune.

De la symbolique grecque, il ne conserve que 4 éléments: feu, eau, air et terre.

Vers 1450, Luca Pacioli (italien) étudie les carrés magiques d'ordre 3 à 9 dans son livre: De Virbus Quantitatis. Il associe les carrés aux planètes sans faire allusion à des applications magiques.

Des reproductions de carrés magiques, gravées sur du bois ou autre, servent de porte-bonheur.

En particulier, gravés sur une plaque d'argent, ils sont censés protéger de la peste.

Chez les Rose-Croix, ils servent à masquer le chiffre de la Bête (666) dans le carré magique de 6 x 6 = 36 cases (somme = 111).

Gaffarel, célèbre cabaliste français et bibliothécaire de Richelieu, a porté l'étude de ce jeu d'esprit au niveau d'une science complète.

En 1510 puis 1531, Heinrich Cornelius écrit De Occulta Philosophia décrivant les vertus magiques des carrés d'ordre 3 à 9.

En 1514, Albrecht Dürer (1471-1528) peint le tableau "Mélancolie" où figure son célèbre carré magique.

Voir Ésotérisme

JEUX ARITHMÉTIQUES

Les précurseurs Michael Stifel (1487-1567), entre autre, spécialiste de suite de nombres, des nombres géométriques et des carrés magiques. Il publie un livre, Arithmetica integra (1544), dans lequel on trouve notamment un carré magique de 16x16 qui montré à B. Franklin, deux siècles plus tard, agira sur lui comme un aiguillon. Girolamo Cardano dit Cardan (1501-1576), écrit des carrés magiques associés aux sept planètes: Practica arithmetica et mensurandi singulari (1539) - De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici. En 1653, Athanasius Kircher écrit un traité sur les carrés magiques: Oedipus Aegyptiacus. Lui aussi les associe aux planètes. Bachet de Méziriac (1581-1638), auteur de Problèmes plaisants et délectables, trouve une méthode pour la construction des carrés magiques. Frenicle de Bessy (1605-1675) et son livre: Des Quarrez magiques. Franklin se serait inspiré de son livre. Philippe de la Hire (1640-1718) met à jour diverses curiosités arithmétiques. Il traduit le traité sur les carrés magiques de Manuel Moschopoulos. Il laisse son nom à un méthode de construction des carrés magiques à base de deux matrices auxiliaires. Les joueurs En 1514, Albrecht Dürer (1471-1528) peint son célèbre tableau "Mélancolie" on y voit un carré magique d'ordre 4, la date 1514 figure sur le tableau. C'est le premier carré magique imprimé connu en Europe. Benjamin Franklin (1706-1790) a fait beaucoup pour les carrés magiques: Voir le truc de B. Franklin, Carré d'ordre 8 de B. Franklin. Les matheux Les grands mathématiciens du XVI^e siècle s'y intéressent: Fermat (1601-1665). Pascal (1623-1662): Traité des nombres magiquement magiques. En 1686, Adamas Kochansky compose des cubes magiques. En 1688, Antoine de la Loubère, français, étudie rigoureusement les carrés magiques qui conduit à la mise au point d'une théorie de leur construction. Dans son livre Du Royaume de Siam (1693), il consacre un chapitre: Le problème du carré magique selon les Indiens. En 1693, Frénicle de Bessy décompte les 880 carrés magiques d'ordre 4. Il publie: Des quarrez ou tables magiques. Euler (1707-1783) : De quadratis magicis paru en 1776. Il s'intéresse à des carrés qu'il nomme carrés gréco-latins. Il conjectura, à tort, qu'il n'y avait pas de carré gréco-latins d'ordre 4n + 2. La conjecture tomba en 1959 lorsqu'un carré d'ordre 22 fut construit suite à une bonne intuition mathématique. >>> Euler imagine la construction des carrés magiques à partir de la combinaison linéaire de deux carrés auxiliaires orthogonaux. Benjamin Franklin procédera de même. En 1910, Bergholt décrit une méthode générale de résolution des carrés magiques 4x4. En 1917, William Andrews, écrit: Magic Squares and Cubes, un livre de 428 pages complet pour l'époque. En 1946 puis 1953, Garrett Birkhoff (1911-1996) et John von Neumann (1903-1957) démontrent ce théorème: Toute matrice semi-magique d'ordre n est décomposable en combinaison linéaire à coefficients positifs d'au plus (n – 1)² + 1 matrices de permutation. En 1973, R. Schroeppel donne le nombre de carrés magiques 5 x 5 Kathleen Ollerenshaw: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: their Construction and Enumeration Les vulgarisateurs Édouard Lucas (1842-1891) publie: Récréations mathématiques et Forme générale des carrés d'ordre 3. Henry Dudeney: il considérait les carrés pandiagonaux comme les plus achevés. Les pandiagonales sont nommées "diagonales brisées" (broken diagonals). En dupliquant le carré sur ses bords, on obtient selon lui, un tapis magique (magic carpet). En 1917, il publie un carré bimagique, sans doute le second de l'histoire. En 1910, Dudeney classe les 880 carrés magiques d'ordre 4 en 12 classes de symétries selon la somme des huit paires de nombres. Martin Gardner : il consacre un chapitre entier aux carrés magiques dans son livre Mathematical Diversion. John Convay dans son livre Winning Way, propose une méthode de résolution des équations du carré magique recourant aux classes d'équivalence et à diverses transformations. René Descombes (né en 1924) publie Les carrés magiques (2000), La magie du carré (2004), le carré naturel (2011), Les carrés magiques - Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles. Jacques Sesiano publie: Un traité médiéval sur les carrés magiques (1996) et Les carrés magiques dans les pays islamistes (2004).

Parole de connaisseur en 1917.

C'était sans compter sur la créativité des mathématiciens.

Pour y avoir lui-même contribué, il reviendra sur ses paroles.

Au cours de ces dernières années de nombreuses méthodes ingénieuses ont été inventées pour construire des carrés magiques, et les règles de leur formation sont si bien comprises que tous les anciens mystères se sont évanouis et il n'y a plus de difficultés pour réaliser des carrés de dimension quelconque. Le dernier mot a pratiquement été dit sur ce sujet.

Of recent years many ingenious methods have been devised for the construction of magics (magic squares), and the law of their formation is so well understood that all the ancient mystery has evaporated and there is no longer any difficulty in making squares of any dimensions. Almost the last word has been said on this subject.

Henry Dudeney (1887-1930) –

Concepteur britannique de casse-tête numériques et logiques.

Voir Pensées & humour

ACTUALITÉS

En 1984, Martin Labar pose la question: est-ce qu'un carré magique 3x3 peut être construit avec neuf nombres carrés distincts? Les recherches sont lancées. Il s'agit de trouver un exemple, ou alors la démonstration prouvant la non-existence >>> En 2001, Lee Sallows invente les carrés magiques avec formes géométriques, notamment les polyominos. En 2001, Christian Boyer et André Viricel (1913-2003) construisent des carrés pentamagiques Les nombres forment un carré magique 1024x1024, Les carrés aussi, Comme les cubes, C'est vrai aussi des bicarrés (puissances 4), Et des puissances 5. De nos jours, les carrés magiques sont étudiés en relation avec des domaines mathématiques comme l'analyse, la théorie du dénombrement (combinatoire), l'arithmétique modulaire, les matrices, les transformations géométriques.

Pour d'autres contemporains: voir leur site

ENGLISH CORNER

The earliest known magic square is Chinese, recorded around 2200 B.C. (Before Christ). Fuh-Hi described the "Loh-Shu", or "scroll of the river Loh". It is a typical 3x3 magic square except that the numbers were represented by patterns not numerals. The best known early square is probably the 4x4 magic square depicted in 1514 in Albrecht Dürer's woodcut "Melancholia". The square is magic but not pan-magic. Only two of the broken diagonals are magic. Frenicle, in 1693, first described all 880 possible magic squares of order 4.

Voir Termes anglais des carrés magiques / Anglais

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