NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/02/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
Débutants Carrés magiques	Carrés magiques				Glossaire Carrés magiques
	Carré magique 5 x 5
Carré 5 x 5		Construction	Diaboliques	Générique
Propriétés		Premiers
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Carrés magiques d'ordre 5

Un exemple traité complètement avec l'appui des méthodes de Benjamin Franklin. Où il est question, à nouveau, de la construction avec le mouvement du cavalier et des propriétés des carrés magiques 5x5.

Voir Carré magique de Franklin

Partagerez-vous la passion de Benjamin Franklin ?

Durant ma jeunesse et lorsque j'avais plus de temps pour les loisirs – je pense toujours que j'aurais pu mieux utiliser ce temps ! – je me suis amusé à faire des carrés magiques. À force, j'ai acquis le coup et je pouvais remplir un carré de taille raisonnable aussi vite que je pouvais écrire les nombres. 

Président B. Franklin

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Truc de Franklin – En fait, de Loubère

B. Franklin avait un truc ! Un algorithme de construction des carrés magiques d'ordre impair développé par De la Loubère, envoyé de Louis XIV au Siam de 1687 à 1688: 1. Mettre le 1 dans une cellule au choix. 2. Se déplacer selon le mouvement du cavalier aux échecs : 1 pas à droite et 2 vers le haut et y mettre le 2. Puis, même chose pour les nombres suivants. 3. Lorsqu'on déborde du carré, continuer comme si le carré était bouclé : le côté droit collé à celui de gauche et le haut avec le bas. 4. Si cette règle aboutit à placer un nombre dans une cellule déjà occupée (cellule multiple de n), placer le suivant dans la cellule immédiatement en bas. 5. Continuer comme en 2 jusqu'à remplir le carré (dernier nombre : 25). Le mouvement du cavalier est un exemple qui engendre un carré pan magique. D'autres mouvements aboutissent aussi au carré magique, mais pas forcément pan magique.

Analyse d'un carré

Prenons l'exemple de ce carré magique normal impair, pandiagonal, symétrique et, même, diabolique.

Voici ses principales propriétés

10	18	1	14	22
11	24	7	20	3
17	5	13	21	9
23	6	19	2	15
4	12	25	8	16

Propriétés	Explications	Valeurs
Magique	Somme constante sur : 5 lignes 5 colonnes 2 diagonales	Constante magique N = n(n² + 1) / 2 = 5(5² + 1) / 2 = 65
Normal	Nombres consécutifs.	de 1 à E = n² de 1 à 25
Impair	Ordre du carré.	n = 5
Pan magique	8 diagonales coupées.	Somme S = 65 sur les toutes pan-diagonales ou diagonales coupées Ex: 11 + 5 + 19 + 8 + 22 = 65
Associatif	Deux éléments de bord opposés.	Somme = n² + 1 = 5² + 1 = 26 = E + 1 = 25 + 1 = 26 = 2 x nombre central Ex: 1 + 25 = 12 + 14 = 8 + 18 = ...
Symétrique	Deux éléments symétriques par rapport au centre.	Somme = 26 Ex: 24 + 2 = 7 + 19 = 26
Diabolique	Nombreuses figures donnant aussi la somme magique. Toutes des permutations circulaires sur les lignes et les colonnes conservent la magie du carré.	Croix droite: 18 11 24 7 5 Croix de Saint-André: 10 1 24 17 13

Bilan

On observe quelques valeurs caractéristiques du carré magique:

Ordre	n	= 5
Nombres	de 1 à n² = E	= 25
Somme magique	N = ½ n (n² + 1)	= 65
Symétrie*	S = n² + 1 = E + 1	= 26
Nombre central:	C = S/2	= 13

*Valable que pour les carrés magiques impairs

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