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	Carrés magiques
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Dénombrement

des carrés magiques possibles

Combien de carrés magiques selon l'ordre et la nature?

Le décompte concerne les carrés magiques "orthodoxes":

Avec les nombres entiers successifs de 1 à N, le nombre magique; et

avec un seul représentant de toute la classe des carrés magiques qui s'en déduisent par symétries ou rotations.

Il n'est pas interdit de s'amuser avec d'autres types de carrés magiques, mais ils ne font pas parties du dénombrement officiel indiqué ci-dessous.

Nombre de carrés magiques En rouge, valeur exacte; en noir, ordre de grandeur
Ordre	Semi-Magique	Normal	Associatif	Panmagique	Diabolique
3	9	1	1	0	0
4	68 688	880	48	48	0
5	579 milliards	275 millions 275 035 224	48 544	3 600	16
6	10^23	1,7 10^19	0	0	0
7	10^38	3,8 10^34	10^18	10^17	20 millions
8	10^59	5,2 10^54	10^27		10^15
9	10^84	7,8 10^79	10^40		10^24
10	10^115	2,4 10^110	0	0	0
Voir le détail sur le site de Walter TRUMP, un grand spécialiste du dénombrement des carrés magiques Sur ce site vous trouverez également l'historique de ce dénombrement. Il signale, ce qui est vrai, que la quantité de carrés magiques d'ordre 10 (10^110) est plus grande que la quantité de particules (10^80) dans l'Univers.

Propriétés - Variantes

Carrés classiques Chaque carré magique se décline de 8 façons, 8 variantes: quatre rotations, et deux réflexions de chacun d'eux. En règle générale, un carré magique ne reste pas magique en inversant des lignes ou des colonnes; les diagonales ne sont plus magiques. Carrés latins Il n'y a jamais plus de n – 1 carrés latins d'ordre n qui sont mutuellement orthogonaux. (Martin Gardner) Carrés magiques pandiagonaux ORDRE 4: Ils sont 48. Mais du fait de la liberté de positionnement des nombres, il n'y en a que trois de base. ORDRE 5 : Chaque carré magique pandiagonal se décline de 200 façons: Les huit classiques, et 25 fois selon le positionnement du 1 (par exemple) dans chacune des 25 cellules du carré. En effet, le carré peut être translaté d'une case en horizontal comme en vertical sans changer les sommes sur les pandiagonales: effet du tapis magique. ORDRE n: déclinaison de 8 n² façons Cubes magiques ORDRE 3: 4 fondamentaux fois 48 variantes Hypercubes magiques de quatrième dimension ORDRE 3: 58 fondamentaux fois 384 variantes

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