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Mathématiques des Carrés Magiques

Méthodes de construction

Comment construire un carré magique ? Il existe de nombreuses méthodes: de la simple recette de placement des nombres à des théories mathématiques très élaborées. Si les premières existent de longue date, les dernières sont très récentes. Elles bénéficient des théories mathématiques modernes avec mise à contribution des ordinateurs

Ce qui est certain: les méthodes de construction sont différentes pour les carrés magiques d'ordre impair (les plus faciles à réaliser) et pour les carrés magiques d'ordre pair.

Les méthodes seront adaptées au cas de l'obtention e carrs magiques particuliers: associatifs, panmagiques, diaboliques ou encore plus que parfait.

Prérequis

Cette page est la première d'un développement sur les mathématiques de construction des carrés magiques. On suppose que le lecteur est familier du vocabulaire classique des carrés magiques.

Carrés d'ordre IMPAIR

Méthode de placement des nombres successifs

Méthode de l'escalier,

Méthode de la Loubère ou encore méthode hindoue

Elle consiste à placer le 1 dans la grille et à appliquer une règle de placement des nombres les uns après les autres.

Les nombres s'enchainent sur la grille qui s'enroule de façon de les nombres qui débordent se retrouvent dans la grille, de l'autre côté.

Arrivé à un multiple de l'ordre n du carré, une seconde règle, dite de rupture, intervient. Elle est choisie de façon que, selon cette règle, le successeur du nombre maximum (n²) soit le 1. Ainsi la boucle est bouclée.

Vecteurs de déplacement

Les deux déplacements sont caractérisés par deux vecteurs indiquant la quantité de pas à faire en x et en y.

Cas diagonale: [1, 1], [0, -1]

Cas du cavalier: [1, 2], [0, -1]

Voir Règles complètes de construction

Programmation

Carré magique [1, 1] & [0, -1]

	17	24	1	8	15	65
	23	5	7	14	16	65
	4	6	13	20	22	65
	10	12	19	21	3	65
	11	18	25	2	9	65
65	65	65	65	65	65	65

Règle 1 de progression régulière: avancer de 1 pas et monter de 1 pas [1, 1].

Règle 2 de rupture: descendre d'un pas [0, -1].

Dans ce genre de carrés associatifs, le 13 est toujours au centre et la somme des nombres symétriques par rapport au centre est égale à 26, y compris pour 1 et 25, les deux nombres extrêmes.

Exemple de carré magique d'ordre 5

Les deux règles sont lustrées par les couleurs

Voir Un exemple d'ordre 9

Méthode du losange, du damier crénelé, ou des terrasses Méthode de Bachet de Méziriac
Cette méthode consiste à placer les nombres successifs sur les diagonales montantes d'un quadrillage. Le résultat dessine un losange de nombres. L'opération suivante consiste à placer les nombres qui débordent à leur place équivalente, comme si le carré s'enroulait sur lui-même. Observer la succession des nombres. On retrouve celle indiquée dans la méthode précédente. Voir Méthode du losange Voir Algorithme et programmation de cette méthode

Méthodes avec carrés auxiliaires (matricielles)

Méthode de Philippe De la Hire Elle consiste à préparer deux tableaux de nombres: l'un avec les nombres de 1 à n et l'autre avec les nombres multiples de n. Ces nombres sont répartis dans les deux grilles de façon qu'aucun doublet ne se ressemble. Le carré magique est obtenu en ajoutant les nombres de chaque doublet. Exemple Aucun doublet identiques dans les deux carrés: (4,3) est différent de (5,2), de (1, 1), etc. Ces deux carrés sont des carrés latins orthogonaux. Voir Construction additive Construction du carré 4x4 Construction du carré 6x6

Méthode d'Euler et méthodes modernes

Elles s'inspirent de la méthode précédente en la généralisant. Pour des raisons pratiques, les mathématiciens préfèrent utiliser les carrés avec les nombres de 0 à n² -1 plutôt que de 1 à n², simplifiant ainsi les formulations.

Avec cette méthode la formation se résume à une équation matricielle.

Exemple

Les deux carrés latins vus ci-dessus, décrémentés de 1. Les deux nombres de cellules en même position forment un doublet.

Chaque nombre du carré magique est égal à 5 fois le premier nombre du doublet ajouté au second.

La notation Q et R fait référence au fait que, par exemple, 17 = 5 x 3 + 2 avec 3 le quotient (Q) et 2 son reste (R). Q est donc la matrice des quotients et R la matrice des restes (des modulo 5)

Voir Méthode matricielle d'Euler

Carrés latins et carrés magiques

Carrés d'ordre PAIR

Méthodes du serpentin
Carré magique 4x4 Les nombres sont placés naturellement dans la grille: de gauche à droite et de haut en bas. Le centre et les sommets restent en place (autrement-dit: les diagonales ne sont pas touchées). Par contre, les nombres latéraux sont complémentés à 17 (ou autrement-dit: chacun prend la place de son symétrique par le centre). C'est le plus petit carré pair et il est associatif.
Principe général Pour les ordres plus grands, les choses se compliquent. Ce schéma aide à définir la stratégie pour la modification des placements. Les nombres sont placés en mode serpentin. En marron foncé, les cases sur la bonne ligne et sur lesquelles on va s'appuyer. Les trajets fléchés indiquent les nombres à compléter sur les lignes déjà partiellement produites dans le sens indiqué par la flèche. Voir Construction du carré 6x6 Construction du carré 8x8 Construction du carré 10x10 Autre méthode de serpentin	Cette présentation est utile pour la construction des carrés magiques d'ordre pair. Le principe consiste à établir des chemins (lignes brisées fléchées) tels que la somme sur le trajet est magique.

Construction génétique

Il s'agit d'une méthode de construction des carrés magiques utilisant des algorithmes génétiques. On crée une série de carrés remplis au hasard. À chacun est attribuée une note reflétant la "distance" au but. Les plus proches sont reproduits en y introduisant des mutations aléatoires. L'opération est répétée jusqu'à satisfaction: la création d'un vrai carré magique.

Voir gigogne pour les pairs >>>

Méthode des diagonales (8x8)

Méthode du carré magique plus que parfait

méthode serpentine (déjà traité qque part)

Phéru pour les impairs

Suite	Méthode d'Euler Les carrés gréco-latins
Voir	Carrés magiques – Index Carrés magiques – Historique Carré latins et constructions de carrés magiques Jeux – Index Jeux de nombres – Index Jeux numériques – Index Rectangles magiques Méthode de la diagonale
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