NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sun Zi

Mod 9, 10, 11

Carrés et Cubes

Parité

7 ^ 7 ^ 7

Log Modulaire

1110 = 32 mod 71

Classes de congruence

 

Sommaire de cette page

>>> Modulo et résidus

>>> Congruences

>>> Classes de congruences

 

 

 

  

 

 

CONGRUENCES

Modulo & Résidus

  

*       En arithmétique modulaire, c'est le reste de la division qui devient la vedette !

 

*       Dans cette arithmétique utilisant les congruences, le but est plutôt de rechercher des divisibilités. La quantité de restes d'une division par k étant limitée, l'étude d'une propriété est réduite à l'analyse d'un nombre limité de cas.

 

*       Pour se familiariser avec la notion de modulo, on  lira préalablement Approche ou, l'arithmétique de l'horloger.

 

En bref

Voir Le nombre 763 est un nombre modeste  / Division euclidienne

 

 

MODULO ET RÉSIDUS

 

Division de a par m

 

*    Lorsqu'on effectue une division a / m

On peut toujours écrire cette division sous la forme suivante:

 

a = k .m + b

 

*    Ici, dans le monde des modulos, on s'intéressera plutôt à la valeur du reste b et moins à celle du quotient k.

 

Vocabulaire

 

*    Deux mots de jargon qui veulent dire:

Modulo m : je divise par m;

Résidu  b : le reste b de cette division.

 

Exemples: Modulo successifs de 35

 

 

Classique

Monde des modulos

a =

k . m + b

Modulo

a (mod m)

Résidu

b

35 =

17 x 2 + 1

35 mod 2

= 1

11 x 3 + 2

35 mod 3

= 2

8 x 4 + 3

35 mod 4

= 3

7 x 5 + 0

35 mod 5

= 0

5 x 6 + 5

35 mod 6

= 5

5 x 7 + 0

35 mod 7

= 0

 

*    Dans le monde du modulo, on ne s'intéresse pas au quotient k.

 

Notations: toutes ces expressions signifient la même chose

On trouve aussi ces notations:

 

Observations

a (mod m) pour a et m jusqu'à 10

m

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

3

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

4

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

5

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

6

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

7

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

8

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

9

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

En bleu, résidu > 4

Notez: le résidu n'est jamais supérieur à m, évidemment !

 

 

a (mod m) pour a à partir de 17  et m jusqu'à 17

m

a

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

3

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

4

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

5

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

6

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

7

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

8

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

9

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

11

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

12

5

6

7

8

9

10

11

0

1

2

13

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

14

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

En bleu, résidu > 7

 

 

 

Coin maths

 

 

CONGRUENCES

 

Formulation

 

Dans

a = k .m + b

 

a est congru à b modulo m

 

On écrit

a  b (mod m)

 

Exemple

 

a = k .m + b

a  b (mod 3)         

35 = 11 x 3 + 2

35  2 (mod 3)

36 = 12 x 3 + 0

36  0 (mod 3)

37 = 12 x 3 + 1

37  1 (mod 3)

38 = 12 x 3 + 2

38  2 (mod 3)

 

Il est équivalent de dire:

 

a = k . m + b

a divisé par m produit un reste b

a – b = k . m

a et b ont même reste lorsque divisé par m

ab est divisible par m

ab est multiple de m

a  b (mod m)

a et b sont congrus modulo m

a est congru à b modulo m

 

 

Illustration où il est montré que b joue un double jeu: le nombre b et le reste b

Merci à Mohamed Biby

Notez

(35, 2), (38, 2), (41, 2) et (44, 2)

*    Sont quatre couples ayant un air de famille.

*    Tous ces nombres sont congrus modulo 3.

*    On obtient le même reste en les divisant par 3.

*    On a créé une race (classe) de nombres  partageant la même propriété.

 

 

 

CLASSES DE CONGRUENCES

 

Classes

 

Avec la congruence

modulo m donnée,

on partage les nombres

en plusieurs classes.

 

Notez

 

Le nombre de classes

est égal à m,

l'argument du modulo

 

 

 

 

 

 

Nombres divisibles par 1

 

n =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mod 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 

Ils le sont tous = > 1 seule classe

 

Nombres divisibles par 2

 

n =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mod 2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

 

Il y a ceux qui le sont et ceux qui ne le sont pas

Soit pairs et impairs = > 2 classes

 

Nombres divisibles par 3

 

n =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mod 3

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

 

Ils sont de trois sortes:

nombres ayant pour reste 0, 1 ou 2

0  3  6  9 (mod 3)

1  4  7  10 (mod 3)

2  5  8  11 (mod 3)

=> 3 classes

 

 Coin maths

 

 

 

 

 

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Diconombre

*    Nombre 105

Livre

*    Algèbre 1 – Cours et 600  exercices corrigés – 1re année MPSI, PCSI, PTSI – Jean-Marie Monier – Dunod – 1996

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