Racine carrée

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/05/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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RACINE CARRÉE

Voir Fonctions réciproques

C'est l'histoire d'un neuf qui se promenait. Il traverse une forêt. Il en ressort transformé en trois! Que s'est-il passé?

Nul doute, il est tombé sur une racine!

Stromae sort un album intitulé racine carrée en août 2013. Il indique que racine renvoie aux origines numériques et carrées, car il aime les formes géométriques. Il ajoute: je fais de la musique comme si je faisais des maths.

Stromae (né en 1985) est le verlan de Maestro. Son vrai nom est Paul Van Haver.

Voir Pensées & humour

SOMMET EUROPÉEN des 22 et 23 juin 2007: où il est question de racine carrée

Le (mini-) Traité (et non la Constitution) est signé. De nombreuses concessions ont été faites à tel ou tel des 27 pays de l'Union. La Pologne souhaitait représenter le pays selon la racine carrée de sa population. Elle visait ainsi à minimiser la représentativité de l'Allemagne.

	Superficie	Population	population
Allemagne	357 027 km²	82,5 Mha	9,08
Pologne	312 685	38,6	6,21
Rapport	1,14	2,14	1,46 = 2,14

À superficie voisine, la population allemande est plus que deux fois celle de la Pologne.

En utilisant la racine carrée de la population le différentiel redescendrait à environ 1,5.

Voir Europe / Pensées & humour

Petit calcul amusant: résoudre l'équation

RACINES CARRÉES – INDEX

Puissances et racines

>>> Carrés (Nombres - )

>>> Puissances et racines – Index

>>> Racines nièmes

>>> Racine d'une équation

Racines carrées – Définition et propriétés

>>> Racine carrée – Introduction et notations

>>> Racine carrées – Glossaire

>>> Racine carrées – DicoMots Maths

>>> Racines carrée continues

Racines carrées – Valeurs

>>> Table de racines carrées de 1 à 10

>>> Table des racines de 1 à 10 jusqu'à 100

>>> Racine de -1 (Imaginaire)

>>> Racine de 2

>>> Racine de 2 – Spectre

>>> Racine de 2 – DicoNombre

>>> Racine de 2 – En géométrie

>>> Racine de 2 et de 62 - Motifs

>>> Racine de 3

>>> Racine de 5

>>> Racine de 8

Autres racines

>>> Racine cubique: calcul à la main

>>> Racine 13^e – Calcul mental

>>> Racines de l'unité (complexes)

Calcul de la racine carrée

>>> Babylone (Algorithme de - )

>>> Brahmagupta (Approximation de -)

>>> Calcul à la main (comme la division à la française)

>>> Calcul à la main (explications géométriques)

>>> Calcul à la main (explications, fondements)

>>> Calcul avec Maple

Opérations avec les radicaux

>>> Calcul avec radicaux – Nombreux exemples

>>> Calcul avec radicaux – Formulaire

>>> Calcul mental

>>> Calculs - Index

>>> Carrés parfaits (Racine mentale des -)

>>> Construction géométrique

>>> Cubique (Fonction d'approximation)

>>> Décimales des racines carrées

>>> Développements limités

>>> Dichotomie (Méthode par - )

>>> Écarts (Méthode des -)

>>> Fraction avec dénominateur sans radical

>>> Fractions continues et calcul des racines

>>> Goutte à goutte (Méthode du -)

>>> Héron (Méthode de - ) – Algorithme de Babylone

>>> Impairs (Méthode du goutte à goutte)

>>> Newton (Méthode de - )

>>> Racine des nombres en 9999…

>>> Racines consécutives – Énigme

>>> Sommes de racines presque entières

RACINE CARRÉE
Notation	²a ou simplement a : racine carrée de a 4 : racine carrée de 4 = 2, car 2 x 2 = 4 81: racine carrée de 81 = 9, car 9 x 9 = 81 Notation fractionnaire a = a ^1/2 Notation sans exposant a = a^1/2
Définition	La racine carrée d’un nombre a est un nombre dont le carré vaut a:		r = a r² = a . a
À retenir!!!	Un nombre est égal au produit de sa racine par sa racine. J'ai un doute, je me conforte en prenant un exemple numérique.		9 . 9 = 9 en effet: 3 . 3 = 9
Maths	L’application: est une bijection de: dont la réciproque est notée:
Existence	Tout nombre réel possède deux racines opposées: - l'une positive: la racine ou racine principale; - l'autre négative et de même valeur.	*Exemple* 4 = +2 *Car* 2 x 2 = 4 4 = – 2 *Car* (–2)( –2) = 4		*Général* a = +r a = – r *Notation* a = r
Deux racines ou une?	Lorsqu'on parle des racines carrées de 25, il y en a deux.	Racines carrées de 25 =		- 5 et + 5
	Par contre, le radical, indique que l'on s'intéresse à la racine carrée principale, celle positive	25		= 5
	Cette distinction est subtile et rarement respectée. Elle est présente chez les Anglo-saxons

Calcul symbolique

Le logiciel Maple propose deux façons de calculer la racine carrée:

Arithmétique: La valeur positive est donnée directement par sqrt (4 ) = 2 ou par 4^1/2 = 2.

Algébrique: La fonction RootOf donne les deux valeurs positives et négatives.

Voir Calcul des racines énièmes avec root et surd – Pièges!

Voir Racine carrée et notation symbolique de i (imaginaire)

selon que l'on admet la racine négative d'un nombre ou non.

Table des racines de n et de 1/n aux puissances 1 à 5

Exemple de lecture: la racine carrée de 3 est 1,7321 et celle de 1/3 est 0,5774.
Notez que la racine carrée du carré de n est égale au nombre n. Normal!

Voir Tables

Racines carrées – Calculs avec radicaux

Voir Toutes les formules

Sous le radical

Piège!

SUITE en page spéciale: calculs avec radicaux

Une identité utile au calcul de fractions continues

Démo et application >>>

Construction de ²a – Descartes

Sur une droite, on dessine AH = a
et HB = 1, avec a < 1.

Diamètre du cercle = 1 + a

Pythagore: OC² = r² + HO²

r² = OC² - HO²

Soit la valeur de r²

4r² = (1 + a )² – (1 – a)²

= 1 + 2a + a² – 1 + 2a – a²

= 4a

r = a

Exemple: (ne soyez pas surpris que r soit plus grand que a)

OC est le rayon = (1 + a) / 2

OH = OA – a

= (1 + a) / 2 – a = (1 – a ) / 2

Voir Autre construction

FONCTION y = ²x

Rouge y = x

Verte y = ½ x

Bleue y = ²x

Jaune y = ¼ x

Notez

x = ²x

pour x = 1

½ x = ²x

pour x = 4

¼ x = ²x

pour x = 16 (hors figure)

VALEURS de ²a

a = 2 = 1, 414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573

3 = 1, 732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016908800037081146186757248576

4 = 2

5 = 2, 236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782275

6 = 2, 449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457315026539859433104640235

7 = 2, 645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230283627760392886474543611

8 = 2, 828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924214077700775068655283145

9 = 3

10 = 3, 162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639238221344248108379300295

11 = 3, 316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609043846708843399128290651

12 = 3, 464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033817600074162292373514497151

APPLICATIONS

Géométrie

Théorème de Pythagore:

d =

- hypoténuse du triangle rectangle, ou

- diagonale du rectangle.

Côté du carré connaissant son aire:

a = A

Construction de a

(règle et compas)

x² + y² = (1 + a)²

x² = a² + h²

y² = 1² + h²

a² + h² + 1² + h² = (1 + a)²

a² + 2h² + 1 = a² + 2a + 1

2h² = 2ª

h² = a

h = a

Tracer BH et prolonger d'une unité en C.

Dessiner le cercle de diamètre BC (via la médiatrice).

Perpendiculaire en H coupe le cercle en A.

Voir Constructions géométriques élémentaires

Publicité

La publicité pour la calculette "Casio FX 92 collège 2D+" montre un calcul de racines carrées sur l'écran:

Vérifions par nous-mêmes.

Cherchons un des facteurs de 847: 2, 3 et 5 Non! Essayons tout de suite 11: 8 + 7 - 4 = 11 Bingo: 847 / 11 = 77 qui est encore divisible par 11. Soit 847 = 7 x 11 x 11.

Voyons le calcul des racines: