NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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RACINES

Approximations d'une constante

Valeurs d'une racine énième s'approchant de la valeur d'une constante donnée. Bonne idée d'exercice pour apprivoiser les calculs avec logarithmes.

Exemple:

Approche avec le nombre d'or

Nous traçons les courbes (graphes) Chaque trait de couleur représente le graphe pour une valeur de n. L'échelle incrustée donne la valeur de n pour la couleur indiquée. Le graphe est limité en hauteur (ordonnée) de y =1,4 à 1,62. Le trait rouge horizontal est témoin de la valeur du nombre d'or (Phi = 1,618…). Ce graphe montre que si l'on cherche une racine dixième de Phi, il faut chercher du côté de 128. En effet, le bon nombre est x = 123. Pour une meilleure approximation de Phi, il faudra choisir, par exemple, la racine vingtième avec un nombre de l'ordre de x = 16 000. Les abscisses (x) sont données sur une échelle en puissance de deux (par exemple, ici).

Calcul avec le nombre d'or
Nous nous donnons y = 1,618 033 … Comment calculer directement x en fonction de n? Notez qu'une racine est une puissance avec l'inverse.
La solution passe par les logarithmes. Notez que la puissance passe en facteur multiplicatif.
Nous tenons notre moyen de calcul.
Exemple de calcul Calcul du logarithme de x et retour à x par exponentiation.	ln(x) = 10 x ln(1,618 033 …) = 10 x 0,481211… = 4,81211 … x = exp(4,81211…) = 122,990…
Vous trouverez de quoi effectuer ces calculs sur votre ordinateur. Clic sur le rond Windows en bas à gauche; Clic sur tous les programmes; Clic sur répertoire "Accessoires"; Clic sur "Calculatrice". Vous obtenez la calculatrice sur votre écran. Clic "Affichage", puis " cochez "Scientifique". La fonction ln (logarithmes népériens) est sur la touche notée e^x sur l'image. Pour obtenir la fonction e^x,comme sur cette image, appuyez d'abord sur la touche "Inv" (en jaune sur l'image).	Exp(4,8211) s'obtient en tapant d'abord le nombre puis en cliquant simplement sur "Inv" puis sur " e^x".

Approximation du nombre d'or
La racine 10^e est bien sympathique; celle en 12 n'est pas mal non plus.

Approximation de PI
La racine cubique de 31 offre déjà une bonne approximation de la constante Pi avec une formule en 3 comme le début de Pi. Notez que = 3,154, soit Pi à 0,01 près. Soit racine cubique de 10 Pi.
Pour aller plus loin Note: 3,141522 soit Pi à 0,00007 près.

Approximation de e
Exemple de lecture: racine cubique de 20 = 2, 714 qui a un écart de 0,39e-2 = 0,0039 avec la valeur exacte de e = exp(1). En gros, pour un écart de 0,…e-n, il faut effectuer la racine 2n d'un nombre de n chiffres. Exemple: 0,29e-23 49 22

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