NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Fractions

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Exemple de calcul avec pi

>>> Méthode par divisions successives

>>> Calculs avec Maple

>>> Cas des racines

 

 

 

 

 

FRACTIONS CONTINUES

CALCULS

 

Exemple de calculs et utilisation d'un logiciel de calcul.

 

2,3130367364
3358290638 3951602641
7824763 …

*      La fraction continue de ce nombre produit tous les nombres premiers.

Voir Nombre 2,3130…

 

 

Calcul pour Pi

 

  = 3, 141 592 653 589 793 2385 …

 

 Calcul

 

 

 

 

 

 

3

7

 

La fraction 355/113 est une approximation courante de Pi. Les fractions obtenues à partir du calcul des fractions continues sont appelées des réduites de Pi (Anglais: convergents).

 

Fraction continue de Pi

 

 

Voir suite des composantes en  Valeurs

 

Réduites de Pi

 

Formule de Brouncker

 

 

 

 

 

  

 Méthode de calcul par divisions successives

Comment trouver cette fraction continue ?

 

 

 

111 / 11 = 10, 090909...

               = [10 ; 11]

 

Calcul

1) On divise normalement 111 / 11

111

11

1

10

Résultat 10 reste 1

 

2) Le diviseur 11 devient le dividende de l'opération suivante : 11 / 1

11

1

0

11

Résultat 11 reste 0

 

3) Poursuivre jusqu'à obtenir un reste nul.

Ce qui est déjà le cas dans cet exemple simple.

 

Notation en division cascade

 

111

11

11

1

10

0

11

 

Autre exemple, avec la notation

 

200 / 111 = 1,801 801...

                 = [1 ; 1, 4, 22]

 

 

 

 

 

 

200

111

 

 

111

89

1

 

89

22

1

 

22

1

4

 

 

0

22

 

 

 

 

 

 

Fractions continues d'une racine

Méthode avec numérateur unité

Exemple avec racine de 5.

 

Calcul de (1 / (rac5 – 2): inverse de la partie décimale.

Toujours: inverse de la partie décimale.

Mêmes décimales.

 

La poursuite du calcul montre que la nombre 4 est répété à l'infini:

 

Méthode avec numérateur imposé

Exemple avec l'année de naissances: 1970. 

Elle repose sur l'identité suivante:

Explication: réduction au même dénominateur

Multiplication par le conjugué pour éliminer le radical du dénominateur

 

Avec n = 1970 et a = 1

 

Pour info: la fraction continue classique avec 1 au numérateur:
[44, 2, 1, 1, 2, 88, 2, 1, 1, 2, 88, 2, 1, 1, 2, 88, …]

 

 

Méthode de calcul

Calcul de la première fraction avec une "semence", une racine approchée de n (ici on prend s = 44, par exemple).

Cette valeur calculée devient s, et elle est réinjectée dans la formule et cela autant de fois que vous voulez.

 

Intérêt pour l'amusement: les fractions successives oscillent beaucoup avant de converger vers la racine.

 

Après 300 itérations, on arrive à 44,3846825 pour 44,3846820. 

 

 

Calculs avec Maple

Conversion d'un rationnel ne faction continue: instruction confrac.

 

Conversion de Pi avec 20 termes

Conversion du nombre d'or (Phi) avec 11 termes (par défaut).

Obtention des réduites

Conversion d'une fraction continue en rationnel

 

La fraction continue dont les termes sont tous égaux à 2 est égale à 1 + racine de 2.

Maple sait reconnaitre certains nombres avec l'instruction: identify.

 

Avec des 4, la fraction continue représente le nombre 2 + racine de 5.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Suite

*    Fractions continues et réduites de quelques constantes

*    Fractions continues – Calculs

*    Fractions continues de certaines constantes – Table

*    Algorithme d'Héron: calcul des racines

Voir

*    FractionsGlossaire

*    Fractions- somme égale à 1

*    Multiplication des fractions

*    Nombres Périodiques

*    Nombres rationnels, irrationnels, transcendants

*    Racines continues

*    Rationnels, irrationnels, transcendants

*    Suite de Farey et calendriers

*    Tables de nombresIndex

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