NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/04/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Racine 13ème d'un grand nombre – Exercice >>> Le défi plus général >>> La méthode en bref >>> Familiarisation >>> Suite

RACINE TREIZIÈME

Principe du calcul

Objet de calcul mental par certains prodiges jusqu'à des nombres de 100 voire 200 chiffres. Quel est leur secret ? Explorons quelques principes qui facilitent leur tâche tout en reconnaissant que ces calculs relèvent néanmoins de l'exploit: mémoire et agilité mentale.

Calcul de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres:

Record 2002: Alexis Lemaire – 13,55 s

Record 2004: Gert Mittring – 11,80 s (non homologué)

Record 2004: Alexis Lemaire – 3,6 s (non homologué)

En explorant ce sujet, nous allons faire appel à diverses techniques de calcul. C'est le principal intérêt de ces pages.

Anglais: Lightning calculators

Actualité mai 2016

Racine 89 247^e d'un nombre d'un million de chiffres.

Exploit réalisé en 6 minutes et 1,4 seconde par Gert Mittring à Zurich dont le QI est estimé à 175.

Voir Actualités 2016

Actualité janvier 2014

Racine 13^e de 13 060 694 016 = 6

Exploit réalisé en une minute en janvier 2014 durant une émission de télévision par Zhou Wei, surnommé le Rain Man chinois, du fait qu'il souffre de troubles mentaux

Exercice simple

Racine 13^ème d'un grand nombre				haut
Défi Trouver N^13 = m Quelle est la racine treizième de m, sachant qu'il s'agit d'un nombre entier ?			m = 981 4843037474 6156652212 8614150507 8084763648 = 9,81... 10^42
Ordre de grandeur Nombre à 43 chiffres			1000^13 = 10^39 2000^13 = 2^13 × 10^39 = 8192 × 10^39 = 8,192 10^42 m est légèrement supérieur à 2000
Unités = 8 On établit le tableau des unités des puissances. Avec 1 et 2, on sait que l'on arrivera à 1 et à 2. Et pas 8. Avec 3, on a successivement 3×3 = 9, 9×3 = 27, on garde 7; puis 9×7 = 63, on garde 3; puis 7×3 = 21, on garde 1; etc. pour aboutir à 3 qui e convient pas. Seul 8 produit un 8 pour unité à la puissance 13.			Table des unités des puissances jusqu'à la puissance 13 Seul le chiffre 8 convient pour les unités de N.
Solution	N = 2008
Vérification	Table des puissances de 8 avec unité, dizaines puis centaines
Méthode de calcul de l'unité On cherche le quotient de la division par 10, qui supprime l'unité, et on multiple pat 10. Ce nombre est soustrait du nombre initial.		Formule de calcul sur tableur Exemple avec 7×3 = 21 => 21 – 2×10 = 1

D'après Alon Amit – Février 2022

Plus généralement

Le défi!

Étant donnée un nombre de 100 chiffres qui est une puissance 13^e d'un nombre, retrouver ce nombre de tête. Autrement-dit: extraire la racine treizième d'un nombre de cent chiffres. Exemple Il existe 7 992 563 racines treizièmes à cent chiffres. Ils ont huit chiffres et commencent par 4, et le dernier chiffre est égal au dernier du nombre proposé. Record du monde par Alexis Lemaire (1980-) 100 chiffres en 13,55 secondes puis 3,6s (pratiquement le temps de lire le nombre et sa racine). 200 chiffres en 70,2 secondes.

Voir Sites Internet pour historique détaillé

La méthode en bref

Malgré la présence de 100 chiffres, le calcul s'intéresse uniquement aux quatre premiers (bleus) et aux quatre derniers (rouges). De plus: Le premier chiffre est toujours 4. Le dernier est toujours le même pour la puissance et pour la racine. C'est une des propriétés qui justifient le choix de la racine treizième. Alors, le travail est bigrement allégé! Il ne reste plus que six chiffres à trouver … Non! Les six autres chiffres nécessitent des calculs qui dépassent le niveau du calcul mental classique: Les trois de poids forts (ici, 567) résultent d'un calcul via les logarithmes et la mémorisation d'une table. Les trois de poids faible (ici, 891) se déduisent de règles, certaines relativement simples et d'autres plus alambiquées. La technique utilisées et celle des restes de la division (modulos).

Familiarisation

Un exemple: 12345^13 = 1546 6221494091 4131102165 1977071012 9584923084 5947265625 avec 54 chiffres. La plus petite puissance de 13 significative: 2^13 = 8192 avec 4 chiffres. Avec les puissances de 10: 10^13 = 1000 0000000000 avec 14 chiffres (13 + 1). 100^13 = 1000000 0000000000 0000000000 avec 27 chiffres (2 x 13 + 1). 1000^13 = 1000000000 0000000000 0000000000 0000000000 avec 40 chiffres (3 x 13 + 1). Et les puissances avec 100 chiffres Encadrement par une puissance de 10 100 / 13 = 7,69… (10^7)^13 => 92 chiffres (7 x 13 + 1). (10^8)^13 => 105 chiffres (8 x 13 + 1). En fait: Une recherche complète montre qu'il y a presque 50 millions de nombres (49 238 826) qui ont une puissance treizième avec au plus 100 chiffres. 49 238 826^13 = 9999999162 8809505076 4468891852 4814522347 2426272392 4318937611 5437857450 7585909784 4482036507 4927230976 Quels sont les nombres pour lesquels la quantité de chiffres (qC) change de décade? Exemple: 5^13 = 1 220 703 125 qui passe le cap des dix chiffres; 29^13 celui des vingt chiffres, jusqu'à 41 246 264 ^13 qui est le premier à 100 chiffres.

La suite…

Nous allons procéder en trois temps pour sérier les sujets en commençant par les plus simples. 1. Description des techniques de base pour le calcul des poids faibles et pour les poids forts. 2. Calcul de la racine en se limitant à 100^13, soit une racine avec deux chiffres seulement. Le calcul mental de tête pour un tel cas limité reste un challenge. >>> 3. Description des méthodes permettant d'aborder la résolution générale du problème à 100 chiffres: avec le bagage décrit dans ce site, se reporter aux sites Internet spécialisés.

Suite	Calculs des poids faibles
Voir	Racine cinquième
Sites	Alexis Lemaire – Wikipédia Racine treizième d'un nombre de 100 chiffres – Wikipédia Mental Calculation Records: Extracting Roots The 13th Root of a 100-Digit Number – Ron Doerfler and Miles Forster
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Racine13.htm