NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

Débutants

Dénombrement

Autour d'une

TABLE RONDE

 

Glossaire Combinatoire

 

 

INDEX

 

Dénombrement

3 personnes

4 personnes

5 personnes

 6 personnes et +

 

Sommaire de cette page

>>> Personnes n'a jamais deux fois les même voisins

>>> Énigme de l'époux

>>> Sept à table

 

 

 

 

 

À SIX (et +) autour d'une TABLE RONDE

 

Plusieurs énigmes avec six ou sept personnes autour d'une table.

 

Anglais: The Dinner Table Problem

 

 

En résumé

Quantité de dispositions avec k convives (k personnes):

*    Sur un banc (ou table en ligne):  k!         = 1 x 2 x 3 … x k

*    Autour d'un table ronde:             (k – 1)!  = 1 x 2 x 3 … x (k – 1)

 

 

 

Personnes n'a jamais deux fois les même voisins

 

Général

Nous avons six personnes à déjeuner autour d'une table ronde.  Il y a 5! = 120 possibilités de le disposer. (Pas 6! car la table est ronde et les cas supplémentaires correspondraient simplement à faire tourner la table 6 fois d'un cran de 30°).

 

Notez:

Les mots colorés sont très importants!

 

Notre défi!

Faire en sorte qu'une personne A n'ait jamais la même paire de voisins B et C.

Le convive A peut avoir eu plusieurs fois le même voisin B ou C, mais jamais le même couple (B et C). Chaque personne du couple (B ou C) peut avoir été voisine de A plusieurs fois.

Le défi est de savoir combien de déjeuners successifs il est possible d'organiser. 

 

 

Solution

Avec six personnes, il est possible d'organiser dix déjeuners successifs sans qu'un convive ne voie le même couple de voisins.

Cette quantité correspond au maximum aux possibilités de choix

de 2 voisins parmi 5 = (5x4) / (2x1) = 10.

 

Le convive 1 ne voie le couple (2, 6) qu'une seule fois, même s'il reverra séparément le 2 et le 6.

Le convive 2 ne voie le couple (1, 3) qu'une seule fois.

Etc.

 

Note

Comparaison entre la solution proposée ci-dessus (vérifiée par programmation) et celle de Dudeney. Simple effet des choix de départ. Par contre, celle de Dudeney présente une structure par permutation circulaire sur les colonnes (hors la première) dans chaque bloc de cinq lignes avec en jaune la tête de file.

 

Anglais: n people sitting on a circular table without repeating neighbor-sets / an attendee needs BOTH his neighbors to be new faces,

 

 

Énigme de l'époux

 

Situation

Autour de la table ronde:

*    Hélène et son époux

*    Deux couples d'amis

 

En parfaits maîtres de maison les époux sont les plus éloignés possibles.

 

Le but est de retrouver le nom du mari d'Hélène.

 

Données

 

1) Vincent est assis à la gauche de la femme qui s'est assise à la gauche de l'homme qui s'est assis à la gauche d'Anne.

 

2) Jérôme est assis à la gauche de la femme qui s'est assise à la gauche de Roger.

 

3) Émilie est assise à la gauche de l'homme qui s'est assis à la gauche de la femme qui s'est assise à la gauche de l'homme qui s'est assis à la gauche de la femme qui s'est assise à la gauche de l'époux d'Hélène.

 

Solution

 

 

Sept à table

 

Situation

Sept personnes autour de la table ronde. Ils décident que les prochaines fois aucun d'entre eux ne se retrouvera à côté de la même personne.

Combien de tels repas peuvent-ils faire?

 

Trois méthodes de résolution.

 

 

Illustration

 

Recherche avec tableau

 

On développe la table linéairement, La colonne de gauche rappelle le nom du voisin de droite de A.

Pour A qui a voisiné avec G et B, on essaie les voisins un cran plus loin: F et C.  Puis E et D.  Et c'est fini! A est bien passé à côté de chacun des six autres.

 

 

 

On constate vite qu'il n'y a que trois possibilités. En cherchant logiquement les voisins, on trouve la table indiquée. La dernière ligne vérifie que chacun à bien voisiné l'un des autres.

 

Réponse graphique

 

Seulement deux autres possibilités.

Elles correspondent aux deux heptagones étoilés.

Cette représentation graphique montre bien, et commodément, les deux configurations complémentaires.

 

 

Dénombrement

Quantité de possibilités avec 6 personnes:

 

 

6!

 

Élimination des permutations à deux (AB et identique à BA).

 

6! / 2

Il se trouve que A est proche de B:

5 ! fois

Quantité de possibilités

½ 6! / 5! = ½ 6 = 3

Voir Heptagone / Dénombrement / Graphe

 

 

 

 

Énigme de l'époux – Solution

 

Illustration de la situation

Disposition des six convives autour de la table, en faisant l'hypothèse que les couples sont alternés, ce qui sera vérifié en étudiant la proposition 3).

 

On représente la disposition en un tableau, en notant bien que, par exemple (flèches vertes), la femme est assise à la gauche du monsieur.

 

 

Proposition 3)

Émilie1 est assise

à la gauche de l'homme2 qui s'est assis

à la gauche de la femme3 qui s'est assise

à la gauche de l'homme4 qui s'est assis

à la gauche de la femme5 qui s'est assise

à la gauche de l'époux d'Hélène6.

Les numéros indiquent la quantité de personnes impliquées.

 

 

Proposition 1)

 Vincent1 est assis

à la gauche de la femme2 qui s'est assise

à la gauche de l'homme3 qui s'est assis

à la gauche d'Anne4.

Vincent peut prendre les positions h1 ou h3. La position h2 n'est pas possible car Anne prendrait la position occupée par Émilie.

 

 

Option a)

 

Option b)

 

 

OPTION a) et proposition 2)

Jérôme1 est assis

à la gauche de la femme2 qui s'est assise

à la gauche de Roger3.

Jérôme est installé en h2. En h3 Roger se retrouverait avec Vincent.

Alors, Roger en h3 est l'époux d'Hélène en f2. Ils sont éloignés; en fait, en face l'un de l'autre. Cette solution marche.

 

 

OPTION b) et proposition 2)

Jérôme ne peut être qu'en h1.

Alors, Vincent en h3 est l'époux d'Hélène en f3. Ils sont voisins.

Cette solution ne convient pas.

 

 

Solution

 

Retour

 

 

 

 

 

Retour

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*  101 énigmes logiques avec solutions – e-book – Seuls quelques extraits sont disponibles – Intégralité du texte de cette énigme en n°52. 

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