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Observation sur les multiples de Pi

comme approche au  

Théorème de Dirichlet

Quels sont les multiples de Pi qui s'approchent le plus près d'un entier?

Multiples de Pi
Nous allons calculer les 20 premiers multiples de Pi = 3,1415… Nous noterons également la différence de ces valeurs avec le nombre entier le plus proche. Dans le tableau ci-contre, l'écart absolu à l'entier le plus proche a été multiplié par 100. Les courbes ci-après montrent le comportement des multiples de Pi et leur proximité d'un entier.	k k . Pi écart x 100 0 0,00 0,00 1 3,14 14,16 2 6,28 28,32 3 9,42 42,48 4 12,57 43,36 5 15,71 29,20 6 18,85 15,04 7 21,99 0,885 8 25,13 13,27 9 28,27 27,43 10 31,42 41,59 11 34,56 44,25 12 37,70 30,09 13 40,84 15,93 14 43,98 1,770 15 47,12 12,39 16 50,27 26,55 17 53,41 40,71 18 56,55 45,13 19 59,69 30,97 20 62,83 16,81

La courbe marron montre les multiples de Pi

La courbe verte les écarts absolus à l'entier le plus proche x 100

La courbe montre une première approche d'un nombre entier en 7. Le multiple de Pi vaut alors pratiquement 22. Le tableau précise la valeur exacte: 21,99… et le calcul donne 21,991149…

Mettons en formule Multiple 7 x 3,1415… = 21,99149… Écart 22 – 21,99149… = 0,00885… Écart x 100 0,885

Question
Nous venons de voir que 7 fois Pi est proche de l'entier 22. Autrement dit Pi est proche de la fraction 22/7. Comment trouver cette fraction simplement? Être sûr de ne pas passer à côté de l'une d'entre-elle? C'est l'objet du théorème de Dirichlet, et de ses applications exposées dans les pages suivantes.	7 x 3,1415… = 21,99149… 7 x 3,1415… 22 7 x Pi 22 Pi 22 / 7 Comment trouver p et q ?

Autre exemples
Pour e = 2, 71828 … la fraction qui se lit sur ce graphique est : 19/7 >>> En prolongeant la courbe jusqu'à 100, on trouverait 193/71 = 2,7183…

Pour n = 1,23456789 … les fractions qui se lisent sur ce graphique sont:

5/4, puis 16/13 et encore mieux 21/17 = 1,235… >>>

En prolongeant la courbe jusqu'à 100, on trouverait 121/98 = 1,2346 …

Évidemment, dans ce cas, plus le numérateur sera proche de 12345… et plus le dénominateur sera proche d'une puissance de 10 et plus la fraction sera représentative du nombre initial.

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