Brèves de maths 53

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BRÈVES de MATHS – Page 53

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1040. Trois cercles
Construction Trois cercles de même rayon (R = 1) de centres alignés. Les centres des deux cercles tangents sont les extrémités d'un diamètre du cercle central. Quelle est l'aire de la zone rose ? Piste Construire quatre triangles équilatéraux et évaluer l'aire du disque rose complet. Aire de la zone rose
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Pour en savoir plus	>>> Trois cercles – Solution complète	>>> Cercle – Index

1041. Hexagone magique en trigo.
Identités quotients Voyez comme il facile de construire le tableau par simple lecture du graphique en hexagone.		Bien d'autres propriétés trigonométriques sont contenues dans ce simple hexagone …
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Pour en savoir plus	>>> Tout sur l'hexagone magique		>>> Fonctions trigonométriques

1042. Chapelets de cercles
Hexagone et cercles À chaque sommet, on place un cercle centré sur le sommet et de rayon moitié du côté de l'hexagone. Curieusement, la différence d'aires entre la zone bleue et la zone rouge est égale à celle de deux cercles complets. Polygone quelconque et cercles La propriété est valable pour tout polygone, régulier ou non, convexe ou non. La différence d'aires entre la zone bleue et la zone rouge pour un polygone quelconque formé par un chapelet de cercles est constante et égale à celle de deux disques.		Chapelet de cercles: ils sont tangents deux à deux et ont le même rayon.
Brèves associées	>>> Cercles tangents		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Chapelet de cercles		>>> Quatre cercles

1043. Théorème des angles alternés
Théorème Un cercle et une tangente. Un triangle quelconque inscrit dans le cercle. Aux sommets, les angles avec la tangente sont égaux aux angles alternés du triangle. Explication Les angles interceptent les mêmes arcs. Or, les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
Brèves associées	>>> Angles autour du cercle	>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Théorème des angles alternés	>>> Angles inscrits

1044. Compter avec les doigts
Chiffres et doigts Notre façon de compter avec la base 10 (système décimal) est probablement apparue parce que nous avons 10 doigts. Si nous avions évolué avec 8 ou 12 doigts, notre système de numération aurait pu être très différent. Notez que le mot "digit", dans le sens de chiffre, vient du latin digitus, qui signifie doigt ou orteil On sait aussi que les gens ont des techniques très différentes pour garder la trace des chiffres sur leurs mains.		Deux façons de compter avec les doigts
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Pour en savoir plus	>>> Compter avec les doigts		>>> Système décimal

1045. Divisibilité de abc abc
Nombres en abc abc En notant que 91 x 11 = 1001 et que, d'une manière générale, les diviseurs de 1001 sont: 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 on peut établir que: Tous les nombres en sont divisibles par 7, 11, 13, 77, 91, 143 et 1001. La barre indique qu'il faut lire un nombre en entier. Nombres en aba bab Il existe mieux ! Les nombres en aba bab sont divisibles par 1, 3, 7, 13, 21, 37, 39, 91, 111, 259, 273, 481, 777, 1 443, 3 367, 10 101. Ex: 121 212 / 3 367 = 36; 999 999 / 1 443 = 693		Exemple avec abc = 123 Cas de 909 090, nombre en aba bab Le nombre 909 090 est exceptionnel avec 128 diviseurs.
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Pour en savoir plus	>>> Divisibilité de abc abc >>> Nombres en 1010… et divisibilités		>>> Divisibilité de 909 090 et autres >>> Diviseurs

1046. Étoile cachée
Sur cette figure, pouvez-vous identifier une étoile à cinq branches ? Ce défi a été imaginé par Samuel (Sam) Lyod (1841-1911), un joueur d'échecs, un auteur d'énigmes et un expert en amusements mathématiques. Solution
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Pour en savoir plus	>>> Pentagone et étoile à cinq branches >>> Sam Lyod – Biographie	>>> Hexagone et étoile à six branches >>> Pesée de Sam Lyod

1047. La balle plus lourde
Défi Parmi ces vingt-sept balles, l'une est plus lourde. Combien de pesées suffisent pour la détecter ? Réponse : 3 Cet exemple est assez simple. ll sert d'introduction à des défis de pesées plus sérieux !
Les trois pesées successives
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1048. Aire de l'urne
Construction Une urne (rose) est dessinée à partir de quatre cercles identiques, de rayon unité, tangents trois à trois. Quelle est l'aire de l'urne ? Piste (figure du bas) L'épure du dessin montre que les centres des cercles forment un carré. L'urne est formée d'un disque posé sur un pied qui est la zone centrale des quatre cercles. Celle-ci est la partie évidée du carré lorsqu'on lui retire quatre quarts de cercle (soit un cercle). Aire de l'urne = (Aire du carré – Aire disque) + aire disque = Aire du carré = 4. Calculs (pour le plaisir)		L'aire de l'urne rose est égale à celle du carré.
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Pour en savoir plus	>>> Quatre cercles		>>> Défis géométriques

1049. Omar Khayyam (≈1048-≈1131)
*Son nom signifie fabricant de tentes.* Khayyam était un mathématicien et un astronome exceptionnel. ll a écrit plusieurs ouvrages, dont Problèmes d'arithmétique, un livre sur la musique et un sur l'algèbre avant l'âge de 25 ans. *En 1070 à Samarkand en Ouzbékistan, il écrit son ouvrage le plus célèbre: Traité sur la démonstration des problèmes d'algèbre.* Khayyam a dirigé les travaux de compilation de tables astronomiques et a également contribué à la réforme du calendrier en 1079. Khayyam mesurait la durée de l'année à 365,24219858156 jours. Khayyam cherche à résoudre ce problème: trouvez un triangle rectangle ayant la propriété que l'hypoténuse est égale à la somme d'un côté plus la hauteur à l'hypoténuse. Ce problème a conduit Khayyam à résoudre l'équation cubique x³+ 200x = 20x² + 2000 et il a trouvé une racine positive de cette cubique en considérant l'intersection d'une hyperbole rectangulaire et d'un cercle. Une solution numérique approchée a ensuite été trouvée par interpolation de tables trigonométriques. Peut-être encore plus remarquable: Khayyam déclare que la solution de cette cubique nécessite l'utilisation de sections coniques et qu'elle ne peut pas être résolue par la méthode de la règle et du compas, un résultat qui ne sera pas prouvé avant 750 ans.			Travaux de Khayyam: solution géométrique pour résoudre des équations du troisième degré; règle pour déterminer les puissances 4 à 6 du binôme; rédaction d'un traité critique sur les éléments d'Euclide.
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1050. Passage de l'autre côté
Problème (Dessin de gauche) Je suis en bas à droite de la jetée et je dois me rendre sur le ponton central. Je ne dispose que de deux planches qui, hélas, ne mesurent pas plus de la largeur du gué. Comment m'y prendre pour passer malgré tout ? Solution (Dessin de droite) Positionnez les planches à 45° pour former une sorte de T.
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1051. Trisection des angles – Théorème
Théorème de Marion Walter – 1993 Les trisectrices d'un triangle délimitent un hexagone interne dont l'aire est 1/10 de celle du triangle. *Marion Walter (1928-2021) est une mathématicienne allemande.* Avec une division des côtés par 4, on obtient un hexagone dont l'aire vaut 8/35 fois celle du triangle – Luca Goldoni
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1052. Trisection des angles – Construction
Principe Archimède imagine cette figure pour réaliser la trisection de l'angle. Rappel Explications (figure du bas) Dans le grand triangle: Dans le petit triangle rose: Soit la valeur d'alpha:		L'angle gamma vaut le tiers de l'angle alpha.
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1053. Nombres polygonaux

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1054. Pesée de Sam Lyod
Énigme Revoici Sam Lyod pour notre plus grand plaisir … Il nous propose trois pesées équilibrées et demande combien de verres faudra-t-il placer sur l'autre plateau pour équilibrer la bouteille. Le piège: bien observer la quantité d'assiettes. Solution On écrit égalités en prenant les lettres initiales des objets. Il faut cinq verres pour équilibrer la bouteille.
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1055. Combien de rectangles ?
Énigme Une grille 2 x 3 comporte douze points. Combien de rectangles peut-on former avec ces douze points ? Piste Non, ce n'est pas 18 rectangles. Il faut en trouver deux de plus. Oui … en travers, avec les diagonales. Solution En comptant les rectangles rouges dans leurs positions variées: 6 + 3 + 4 + 2 + 2 + 1 + 2 = 20
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1056. Carré magique 8x8
Construction Une grille 8 x 8 Les nombres de 1 à 64 (=8²) sont disposés dans la grille en séquence, comme indiqué dans la grille du haut. On marque les diagonales (jaunes) et les sou-diagonales (marron). Remplacer chacun des nombres des cases colorées par son complément à 65. Ainsi le 1 devient 65 – 1 = 64. On observe une sorte d'inversion symétrique des nombres. Calcul de la somme magique La somme magique est 260. C'est la somme des nombres de 1 à 64 (=64 x 65 / 2 = 2 080), divisée par 8 lignes ou colonnes: 2 080 / 8 = 260.
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1057. Grenouille et cheval
Illusion d'optique ou trompe-l'œil. Très peu de gens arrive à voir un cheval sur ce dessin montrant une grenouille Indice L'œil du cheval se trouve vers le centre de l'image Solution
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1058. Longueur de l'hypoténuse ?
Question On dispose d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3cm et 4cm. Quelle est la longueur du troisième côté, l'hypoténuse ? Piste On assemble quatre tels triangles de la manière indiquée sur la figure. Les angles 1 et 2 sont complémentaires. Les angles du grand carré sont donc des angles droits. Les côtés des triangles sont égaux deux à deux. Alors, le quadrilatère vert est un carré. Un carré de côté unité est formé au centre. Calculs Aire du grand carré: 4T + 1C = 4 × (1/2×3×4) + 1 = 25 Son côté mesure: √25 = 5 Théorème de Pythagore On retrouve de théorème pour un cas particulier: 3² + 4² = 5² Mais, celui-ci peut être généralisé en prenant a, b et c pour côtés du triangle rectangle: 4 × (½ ab) + (b – a)² = 2ab + b² – 2ab + a² = a² + b² = c²		Ce calcul figure dans un livre chinois (Chou-pei Suan) qui date de 300 av. J.-C, environ.
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Pour en savoir plus	>>> Théorème de Pythagore		>>> Triangle 3-4-5

1059. Racines des nombres
Construction Carré unité. Arc de cercle avec la diagonale pour rayon. L'intersection en bas produit la racine de 2 (longueur de la diagonale du carré unité). Etc.
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