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Édition du: 04/03/2020

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INDEX

 

Triangles

 

Géométrie

 

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Théorème de Pythagore

Débutants

Nomenclature – Types de démonstrations

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Calcul Aires

Dissections

Triplets de P.

Historiques

Similitudes

Hypoténuse

Pappus-Clairaut

Chinoise (Chou Pei)

Algébrique

Pyramide

 

 

Démonstrations historiques du

Théorème de Pythagore

 

Revue des nombreuses démonstrations de ce célèbre théorème dit de Pythagore. Cette page présente certaines démonstrations dues çà des hommes célèbres (on en trouvera d'autres pages).

Toutes les démonstrations connues ont été recensées en 1940 (2e édition) par Elisha Loomis (1852-1940). Henry Dudeney (1857-1930) a publié de nombreuses dissections (puzzles ou casse-têtes).

 

Sommaire de cette page

>>> Antiquité

>>> Démonstration de Liu Hui

>>> Démonstration d'Euclide

>>> Démonstration de Léonard de Vinci

>>> Démonstration telle que présentée en 1634

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

 

 

 

Antiquité

haut

 

Babylone (vers -1700)

Ce dessin mésopotamien représente le relevé des nombres cunéiformes figurant sur une tablette.

Ils sont exprimés par des fractions en base 60.

Une très bonne approximation de racine de 2.

 

 

Chine (entre – 1000 et 200)

Les Chinois connaissaient les propriétés du triangle rectangle vers -1100 (Tschou-Gun).

Ce dessin chinois représente une preuve très ancienne figurant dans le Zhoubi Saunjing.  L'aire du carré oblique vaut la moitié de 4 fois les rectangles 3x4 plus une unité: 2 x 24 + 1 = 25; et, côté de ce carré vaut: 5.

Inde (entre – 800 et – 600)

Ce théorème a été aussi mentionné dans les Baudhayana Sulba-sutra.

Dans les deux cas la relation du théorème n'est pas exprimée explicitement, mais les indications s'y ramènent.

Voir Démonstration de Chou Pei Suan Ching

 

Égypte (avant – 600)

Ils connaissaient les propriétés du triangle rectangle et les triplets associés.

Le triangle isiaque (3, 4, 5), sacré pour les prêtres égyptiens.

Les triplets pour les arpenteurs: ils mesuraient 6 pieds, 8 pieds sur les côtes du triangle et s'arrangeant pour avoir 10 pieds sur le troisième côté.

 

 

Pythagore (vers – 580 à – 495)

Pythagore et son école sont sans doute les premiers à avoir démontré ce théorème qui porte. La raison est à chercher dans le fait que cette école considérait toute mesure commensurable à l'unité. Les figures ne comportant que des nombres entiers ont sans doute été propices au raisonnement.

Pythagore connaissait le triangle isiaque (3, 4, 5), utilisé quatre fois sur cette figure pour démonter le théorème. Lui et son école avaient mis en évidence les triplets dits de Pythagore.

Ils auraient démontré ce théorème vers  - 540. Cependant de nombreux chercheurs réfutent l'idée que Pythagore en soit l'auteur. En tout cas, nous ne connaissons pas la démonstration de Pythagore.

 

Démonstration de Liu Hui

haut

 

Démonstration par dissection.

 

Puzzle de Gouzu par Liu Hui

 

Puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui dans le livre: Jiuzhang suanshu (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique – 206 av.–220 apr. J.-C.) et le Zhoubi Suanjing

 

 

Instructions

Liu Hui donne des couleurs aux triangles et indique ceux qui doivent sortir (découpe) et se placer (doigt) pour former le grand carré oblique.

Notez que les trois déplacements à effectuer, se réalise par une translation en diagonale.

 

 

 

Interprétation d'après Liu Hui

Puzzle en deux étapes

 

 

Démonstration d'Euclide

haut

 

 

Démonstration express

par transitivité des aires

 

1) Le triangle rectangle initial et deux carrés sur les côtés.

2) Les deux parallélogrammes ont même aire que les carrés.

3) En les faisant glisser, ils se plaquent sur le triangle initial.

4) Ces parallélogrammes ont la même aire que les rectangles dont la somme des aires est celle du grand carré. 

 

 

Démonstration détaillée

 

Proposition 47 du livre I (I, 47) des Éléments d'Euclide (vers -300).

 

Construction

Triangle rectangle ABC.

Les carrés construits sur les côtés.

La perpendiculaire BL.

 

Démonstration

Deux couples de triangles colorés qui ont la même aire car même base et sommet sur une parallèle à la base:
Aires: AFG = AFC
Aires: ADL = ADB

 

 

 

 

 

 

 

 

Les deux triangles colorés AFC et ABD sont égaux (isométriques):

*      du fait des carrés:
AF = AB, et

AC = AD.

*      Angles en A
FAC = 90° + a, et
BAD = a + 90°

Effectivement avec un angle et deux côtés égaux les deux triangles dont isométriques.
Aires: AFC  = ABD

 

 

 

On reprend nos égalités:
Aires: AFG = AFC
Aires: AFC  = ABD
Aires: ABD = ADL

Par transition:
AFG = ADL = Aire de chacun des triangles marron

Par addition:
Aire carré ABGF = Aire AMED

 

Même raisonnement avec la partie droite qui conduit à l'égalité des surfaces jaunes

 

Addition:

Aire du petit carré  + aire du moyen carré
= aire du grand carré.

 

 

Démonstration de Léonard de Vinci (1452-1519)

haut

 

Construction

Le triangle rectangle ABC.

Les carrés construits sur les côtés.

Deux triangles supplémentaires BHG et DEL identiques au triangle initial ABC.

 

Démonstration

Ces quatre quadrilatères ont la même aire:
FKCA = FKHG    =    BLDA = BLEC

Par sommation:
ACKHGF = ABCELD

En identifiant les triangles rectangles T:
Jaunes + 2T = Bleu + 2T

Finalement:
Jaunes = Bleu



 

 

Démonstration telle que présentée en 1634

Cours mathématique demonstré d'une nouvelle, briefve et claire méthode

De Pierre Hérigone (Mathématicien) – 1634

 

 

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Sites

*      Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ? – Alain Bernard et Brigitte Roussel

Voir liste des liens

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/DemoHi.htm