NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/12/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 39

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

760. Nombres à anagrammes premières
Formation des nombres À partir d'un nombre, on élabore toutes les combinaisons possibles avec ses chiffres. Parmi ces nouveaux nombres, on sélectionne les nombres premiers. Nombres multi-premiers par combinaisons Le nombre 13 offre quatre combinaisons (1, 3, 13, 31) dont trois sont premières. Le nombre 34 en produit quatre sur quatre. Le nombre 113 prend le record suivant avec sept premiers sur huit combinaisons. Le nombre 137 le bat avec 11 sur 15.		Records 13, 3 / 4, {3, 13, 31} 37, 4 / 4, {3, 7, 37, 73} 113, 7 / 8, {3, 11, 13, 31, 113, 131, 311} 137, 11 / 15, {3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317} 1123, 18 / 34, {2, 3, 11, 13, 23, 31, 113, 131, 211, 311, 1123, 1213, 1231, 1321, 2113, 2131, 2311, 3121} 1139, 20 / 34, {3, 11, 13, 19, 31, 113, 131, 139, 191, 193, 311, 911, 1193, 1319, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, 9311}
Brèves associées	>>> Anagramme des nombres		>>> Brèves Type de nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombres multi-premiers		>>> Compter les anagrammes des nombres

761. Compter les hexagones
Énigme Sur cette figure, trois hexagones réguliers enchevêtrés. Combien d'hexagones comptez-vous: trois ou plus ? Oui, il faut compter tous les hexagones réguliers, ou non. Solution La figure contient douze hexagones. Ils sont présentés ci-contre.
Brèves associées	>>> Hexagone et triangles		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Pentagone		>>> Polygone – Index

762. Chemin sur une grille
Énigme Sur cette grille, quel est le parcours le plus long pour rejoindre les deux points verts ? Solution Deux sortes de spirales issues de chacun des points. Le chemin fait alors 22 unités.
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Pour en savoir plus	>>> Labyrinthes		>>> Jeux de grilles et autres

763. Pyramide de nombres
Nombre pannumérique Un nombre pannumérique est un nombre formé avec tous les chiffres comme 123456789 ou autres dans le désordre, avec le 0 ou non. Ils sont source d'une grande variété d'amusements. La somme de ces chiffres étant 1 + 2 + … 9 = 9 x 10/2 = 45, les nombres pannumériques sont tous divisibles par 9. Un des jeux classiques consiste à atteindre un nombre donné en utilisant tous les chiffres dans un jeu d'opérations classiques. Exemples 100 = 123 – 45 – 67 + 89 666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89
Brèves associées	>>> Puissances des chiffres		>>> Brèves Motifs – Index
Pour en savoir plus	>>> Pépites de nombres		>>> Nombres pannumériques

764. Somme des repunits
Observation La somme des repunits successifs (un chiffre, deux chiffres, …) produit un motif répétitif formé principalement de la succession des chiffres. 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 Formule de calcul Exemple
Brèves associées	>>> Somme de fractions		>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme des repdigits		>>> Redigits

765. Partitions à trois termes
Exemple avec le nombre 5 Il existe sept partitions du nombre dont cinq comportent jusqu'à trois termes (sommants). Théorie Il existe une formule pour calculer la quantité de sommants pour de telles partitions en fonction de n. Curiosité Cette spirale hexagonale liste toutes les quantités successives de ces partitions: nombres en bleu. 1, 2, 3, 4, 55, 7, 8, 10, 12, 1410, 16, 19, 21, 24, 2715 …		Une spirale simple représentative de la partition des nombres en trois termes au plus
Brèves associées	>>> Partitions du nombre 200		>>> Brèves Théorie – Index
Pour en savoir plus	>>> Tripartitions		>>> Partitions – Index

766. Triangles entiers
Triangle entier Un triangle entier est un triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers. Tout triplet de trois nombres entiers (a, b et c) est éligible à condition de respecter l'inégalité triangulaire: a + b > c avec a et b les deux plus petites longueurs. Tripartition En conséquence, si n = a + b + c est le périmètre du triangle, toutes les partitions de n sont éligibles sous la même condition. Pour le nombre 9, trois telles partitions existent, soit trois triangles entiers de périmètre 9. (3, 3, 3) – équilatéral, (1, 4, 4) – isocèle, et (2, 3, 4) – quelconque.		Les trois triangles entiers de périmètre 9
Brèves associées	>>> Tripartitions (ci-dessus)		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Triangles entiers		>>> Inégalité triangulaire

767. Produit, pizza et escalier
Produit Bipartition de n: sommes de deux nombres = n. Quel est le produit maximum de toutes les bipartitions des nombres ? Exemples Pour n = 5, on aura 2 + 3 et le produit 2 x 3 = 6. Pour un nombre impair en 2k + 1, les deux nombres de la bipartition sont k et k+1. Pour n = 6, on aura 3 + 3 et le produit 3 x 3 = 9. Pour un nombre pair, les deux nombres sont n/2 et le produit maximum est un carré. Pizza Cette suite est aussi la quantité maximale de parts de pizza produites par n = c + 2 coupes successivement parallèles et perpendiculaires. Exemple avec 4 coupes, n = 6 et la suite donne Q = 9, comme le montre aussi la figure. Escalier Cette suite est aussi la quantité de blocs au rang n + 1 dans un escalier progressant par double-marche. Pour n = 8 rangs, on a 20 blocs (petits carrés), confirmé au nombre n°9 de la suite.			Suite des produits maximums 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, … = plancher (n² / 4)
Brèves associées	>>> Points dans le carré	>>> Brèves Dénombrement – Index
Pour en savoir plus	>>> Bipartition et produit maximum	>>> Nombre pizza

768. Règle du parallélogramme
Construction Un parallélogramme quelconque (jaune). Les quatre carrés (roses) construits sur ses côtés (L et l) et les deux carrés (bleus) construits sur les diagonales. Règle du parallélogramme Somme des aires des carrés sur les côtés = somme des aires des carrés sur les diagonales. Plus simplement (moins imagé) Dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. L²+ l² + L² + l² = 2 (L² + l²) = d² + D²		Illustration
Brèves associées	>>> Parallélogramme divisé – Aire		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Règle du parallélogramme		>>> Parallélogramme, toutes les formules

769. Intégrale amusante: ln et exp
Propriétés Les graphes des fonctions y = exp(x) et y = ln(x) sont symétriques. La dérivée de l'exponentielle est égale à elle-même, de même pour l'intégrale. Aire sous les courbes Les aires montrées en jaune sont égales (en valeur absolue) et elles correspondent aux intégrales: Comment les calculer ? Celle avec l'exponentielle est la plus simple. En effet:		Graphe Chacune des aires sous courbe (en jaune) vaut 1
Brèves associées	>>> Volume maximum de la boite		>>> Brèves Analyse – Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul intégral >>> Fonction exponentielle		>>> Nombre 1

770. Calcul trigonométrique: cosinus
Montrer que Outils Relations sur la somme des angles: Vérification avec Maple (Pour info) L'instruction combinée à utiliser: combine(simplify(convert(convert(expand(E), tan), sincos)))		Calcul de E Différence de ces deux expressions: Calcul de F Même type de calcul avec la somme:
Brèves associées	>>> Sinus et cosinus en puissance 4		>>> Brèves Trigo – Index
Pour en savoir plus	>>> Relations trigonométriques >>> Somme d'angles en Pi/k		>>> Trigo en première >>> Trigo avec Maple

771. Crible de Moessner
Construction des puissances des nombres Le procédé est valable pour produire les puissances des nombres par simple remplissage d'un tableau au prix de sommations ciblées. Après avoir rempli la première ligne avec des "1", on calcule la deuxième ligne en faisant simplement l'addition du nombre du haut avec celui de gauche. Cette opération est répétée pour la ligne suivante en ignorant un nombre sur k pour calculer la puissance kième. Même chose pour les lignes suivantes, en ignorant un nombre supplémentaire. Des triangles se forment et le procédé s'arrête à complétion de ces triangles.		Le triangle des cubes Ligne 0: suite de "1". Ligne 1: somme des nombres "au-dessus" + "à gauche". Ligne 2: même type de sommes en ignorant un nombre sur trois. Ligne 3: sommes poursuivant la construction de ces sortes de triangles, donc en ignorant un nombre supplémentaire. Arrêt lorsque les triangles sont complets. En l'occurrence, les nombres du bas sont les cubes des nombres entiers successifs.
Brèves associées	>>> Procédé de Kaprekar		>>> Brèves Itération – Index
Pour en savoir plus	>>> Crible de Moessner		>>> Cribles – Index

772. Problème de Josèphe
Historique (légende ?) Josephus Flavius est un historien juif du premier siècle (v.34-v100). Il est prisonnier des Romains dans une cave de Yodfat (nord d'Israël actuel) avec quarante soldats. Ceux-ci préfèrent se suicider plutôt que de se rendre. Décision est prise que chacun tuera le troisième à sa gauche et le dernier le fera lui-même. Josephus, ne voulant pas mourir, trouva la place à occuper pour être le dernier. En l'occurrence, la place 31. Notoriété Ce problème a été exploité sous diverses formes par les créateurs d'amusements mathématiques. Sa résolution par récurrence est un sujet classique de programmation.		Le défi Cinq soldats sont rangés en cercle (S1, S2, S3, S4 et S5). Ils doivent être exécutés les uns après les autres en épargnant un soldat sur deux jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un seul. L'un d'eux est désigné pour être épargné. Mais, à lui de choisir la bonne place. Solution En périphérie du cercle, les nombres indiquent l'ordre d'exécution: S2, S4, S1, S5 et S3. Le soldat en position 3 sera sauvé.
Brèves associées	>>> Grenouilles sauteuses		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Problème de Josèphe		>>> Les gardes du fortin

773. Nombre 2 187

Le nombre 2 187 est la puissance septième de 3.

2 187 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁷

Avec cette propriété, ce nombre n'ayant aucune composante en puissances inférieures à 7, s'écrit:

10 000 000 en ternaire (base 3).

Quelques opérations remarquables:

9 999 – 2 187 = 7 812 2 187 = 27 x 81 1 827 = 21 x 87

2 187 = 3^7 = 9^3 + 9^3 + 9^3 = 3x9^3 = 3x3^6 = 3^7

Somme qui possède les mêmes chiffres que le terme ajouté à 2187.

Martin Gardner

Brèves associées

>>> Nombre 1 729 – Somme de cubes

>>> Brèves Nombres – Index

Pour en savoir plus

>>> Nombre 2 187 (DicoNombre)

>>> Numération ternaire

774. Calcul de sommes d'inverses (1)
Exemple: calculez (avec astuces !) On remarque que, par exemple: En appliquant à toutes les fractions:		Propriété Formule générale Exemple
Brèves associées	>>> Somme des inverses		>>> Brèves Suites – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme de d'inverses de produits		>>> Sommes d'inverses

775. Calcul de sommes d'inverses (2)
Exemple: calculez (avec astuces !) On remarque que, par exemple: En appliquant à toutes les fractions:		Propriété Formule générale Exemple
Brèves associées	>>> Somme des inverses des carrés		>>> Brèves Suites – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme de d'inverses de produits		>>> Sommes d'inverses

776. Zéros et puissances de 10
Puissances de 10 Les puissances de 10 sont le produit de deux facteurs: 10^k = 2^k × 5^k. Parmi elles, quelles sont celles dont les deux facteurs sont sans "0" ? Il en existe seulement dix: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 18 et 33} (Voir tableau). Puissances de 2 Les puissances {10, 11, 12, 17, 20, 21, 22, 23, …} contiennent des "0". Puissances de 10 À partir de 33, toutes les puissances de 5 contiennent un "0".		Puissances de 10 sans "0" dans ses facteurs 10 = 2 × 5 10^2 = 4 × 25 10^3 = 8 × 125 10^4 = 16 × 625 10^5 = 32 × 3 125 10^6 = 64 × 15 625 10^7 = 128 × 78 125 10^8 = 256 × 390 625 10^9 = 512 × 1 953 125 10^10 = 1 024 × 9 765 625 10^11 = 2 048 × 488 28 125 10^12 = 4 096 × 244 140 625 10^13 = 8 192 × 1 220 703 125 10^14 = 16 384 × 6 103 515 625 10^15 = 32 768 × 305 17 578 125 10^16 = 65 536 × 152 587 890 625 10^17 = 131 072 × 7 629 394 53 125 10^18 = 262144 × 3 814 697 265 625 ... 10^33 = 8 589 934 592 × 116 415 321 826 934 814 453 125
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Pour en savoir plus	>>> Puissances de 10 >>> Puissances de 2		>>> Nombre 10

777. Nombres de 1 à 33 Déficients, parfaits ou abondants
Propriété des nombres face la somme de leurs diviseurs stricts (sans compter le nombre lui-même). La droite verte représente les nombres. En bleu, les nombres avec somme inférieure, les nombres déficients. En rouge, les abondants. En arc-en-ciel, les nombres parfaits. Sur la droite pointillée, les puissances k de 2; leur somme des diviseurs vaut 2^k – 1, un nombre de Mersenne.
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Pour en savoir plus	>>> Tables des nombres déficients … >>> Nombres parfaits		>>> Puissances de 2 >>> Nombres de Mersenne

778. Manipulation de polynômes
Défi Trouver la valeur de l'expression à la puissance 4, connaissant les deux autres. On ne demande pas de calculer les valeurs de a, b et c. Comment s'y prendre ?
Solution
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Pour en savoir plus	>>> Calcul avec polynômes de degré 4 (Ce problème et un plus difficile …)		>>> Équations – Index >>> Identités remarquables

779. Théorème de Pythagore – Réciproque
Trois visions du théorème de Pythagore
Démonstration visuelle de l'inverse du théorème de Pythagore Triangle rectangle du haut: le cas classique du théorème de Pythagore. Toutes les mesures sont divisées par ab pour obtenir le triangle rectangle du bas. Le théorème de Pythagore s'applique aux nouvelles mesures. La relation ah = bc qui donne h en fonction de a, b et c dans le triangle rectangle complète l'égalité.		Deux triangles semblables dans un rapport 1/ab
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