NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/10/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 10

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

180. Calcul impossible?
Montrez que:
1) Calcul habituel		Avec élévation au carré: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Au carré
Calcul
Identité remarquable
Racine carrée
2) On aurait pu faire		En cherchant un carré sous le radical:
En remarquant que
Le calcul est immédiat
Pour en savoir plus	>>> Identités remarquables >>> Calculs avec radicaux		>>> Nombre 2 >>> Calcul avec racines cubiques et quatrièmes

181. Théorème de la divisibilité
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien et aussi physicien et astronome. Il est l’auteur de ce théorème. Théorème Si le nombre naturel a divise le produit b.c et s’il est premier avec l’un des facteurs, alors il divise l’autre.		Démonstration avec le théorème de Bézout Disons que a est premier avec b.
Brèves liées	>>>Théorème de Bézout – B161
Pour en savoir plus	>>> Divisibilité – Critères >>> Lemme de la divisibilité >>> Premiers entre eux		>>> Théorème de Bézout >>> Gauss (1777-1855)

182. Base 12
Nous comptons en base 10, c'est-à-dire avec dix chiffres. Et, si on comptait avec douze chiffres? L'idée s'est développée au cours des siècles. Pourquoi? Parce que 12 est divisible par 2, 3, 4, 6; alors que 10 n'est divisible que par 2 et 5. Nos Anciens trouvaient plus commodes de pouvoir partager les choses à partir de 12 parts. Voyez comme cette idée à résisté sur nos horloges et montres. Elle résiste encore dans la vente des œufs, même si aujourd'hui on peut aussi acheter ses œufs par dix. La base 10 a dix signes à résisté sans doute parce que nous avons dix doigts. Savez-vous que 1,7 bébé sur 1000 est atteint d'hexadactylie (six doigts aux mains ou aux pieds)		Quantité 12 = 1 douzaine Promotion: 13 à la douzaine 12 x 12 = 144 = 1 grosse Mesure 1 pied = 12 pouces 1 pouce = 12 points Monnaies Charlemagne (vers 800) 1 livre (libra) = 20 solidi (sous, sols ou schillings) 1 solidi = 12 denarii (deniers ou pfennigs). Monnaies britannique (jusqu'en 1971) 1 livre = 20 shillings 1 shilling = 12 pence.
Pour en savoir plus	>>> Nombre 12 >>> Douzaine et base 12 >>> Bases de numération		>>> Jeux avec 12 >>> Divisibilité par 12 >>> Horloges

183. Nombres de Mersenne – 2^n– 1
Définition Un nombre de Mersenne est tout simplement une puissance de 2 moins 1. Mersenne et Parfait Lorsque le nombre de Mersenne est premier, il est la source d'un nombre parfait: Tous les nombres parfaits pairs (les seuls connus) sont de la forme: 2^n – 1 x (2^n – 1) Théorèmes Si un nombre de Mersenne est premier, alors n est premier. La réciproque n'est pas vraie. Si a et n sont deux entiers (>1) et si a^n – 1 est premier alors a = 2 et n est premier.		Liste pour les premières valeurs Mersenne premiers En jaune les nombres premiers. Tous les nombres de Mersenne premier sont formés avec n premier. Un nombre n premier n'engendre pas automatiquement un Mersenne premier (cas de 11 ou 23).
Brèves associées	>>> Nombres parfaits
Pour en savoir plus	>>> Nombres de Mersenne >>> Marin Mersenne (1588-1648)		>>> Nombres premiers

184. Nombre 10 – DIX
Linguistique Déca veut dire 10 fois plus et déci 10 fois moins. Une décade vaut 10 jours et une décennie 10 ans. Attention: decade en anglais = 10 ans. Le décan vaut 10 jours en astrologie. Décimer: diviser par dix. Tuer neuf personnes sur dix. Propriétés Le nombre 10 est pair, divisible par 2 et par 5. Il est triangulaire et tétraédrique. 10 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 3 + 6 Curiosité: 10 décimal = 1010 binaire (10 répété!). En chiffres romains, 10 est noté X. Mais, DIX romain vaut 500 + 9 = 509 en décimal. Multiplication et division par 10 Il suffit d'ajouter un 0 ou de décaler la virgule d'un cran vers la droite. Ex: 12 x 10 = 120 et 12,34 x 10 = 123,4 Pour diviser par 10, on fait l'inverse. Ex 120 / 10 = 12 et 123,4 / 10 = 12, 34		Deux mains = dix doigts Base de la numération décimale En écrivant 234 on sous-entend: 2 centaines + 2 dizaines + 4, soit: 2 x 100 + 3 x 10 + 4. Chaque chiffre a un poids dix fois plus grand que son voisin juste à droite. C'est la position qui compte; et, comme il y a dix chiffres, on dit que nous comptons avec un système de numération décimale de position. Curiosités 2^10 = 1024 J'ai dix ans Dix ans correspondent à une vie de plus de 315 millions de secondes.
Brèves associées	>>> Nombre 9 >>> Compter avec 10 chiffres		>>> Nombre 11
Pour en savoir plus	>>> Nombre 10 – Culture >>> Nombre 10 – Maths >>> Chiffre romains		>>> Main >>> Système décimal >>> Pépites numériques

185. Nombres complexes
Démystification! On n'aurait pu (dû) les appeler les nombres doubles, ou doublon. En effet, il s'agit de créer une algèbre sur des couples de nombres. On note le couple: a + i . b Note: Il existe des quadruplets: les quaternions. Que représente le nombre i ? Le nombre i est une création particulièrement astucieuse. Il représente aussi bien: une valeur imaginaire telle que son carré vaut -1 (moins un, oui!); et également un opérateur qui fait tourner de 90°. Autrement dit, le premier nombre représente un point sur la droite classique horizontale et le second un point sur une droite verticale. Un nombre complexe définit, tout simplement, les coordonnées d'un point M du plan. Intérêt En introduisant des nombres imaginaires dont les carrés sont négatifs, toutes les équations du second degré ont une solution avec deux racines, éventuellement complexes. Exemples		Définition Représentation Applications D'une manière générale, les complexes font partie de la boîte à outils des ingénieurs. Les électroniciens les utilisent pour décrire le comportement des circuits électroniques en régime permanent comme en régime transitoire.
Pour en savoir plus	>>> Nombres complexes >>> Équations du second degré		>>> Coordonnées >>> Électronique

186. Carré = cube
Question Est-ce qu'il existe beaucoup de nombres égaux à la racine carrée d'un cube? Ou, exprimé d'une autre façon (en élevant au carré): Réponse Oui! Il suffit que N soit lui-même un cube. Alors K sera évidemment un carré: Exemples		Carré x cube = puissance 6 On retrouve la propriété énoncée en partant d'une puissance sixième. Celle-ci est à la fois le carré d'un cube et le cube d'un carré. Le nombre 8 est égal à la racine carrée d'un nombre cube (64 = 4^3). Notez la notation fractionnaire: le 2 au dénominateur veut dire racine carrée
Brèves associées	>>> Carré = somme de cubes
Pour en savoir plus	>>> Carré = cube >>> Carrés >>> Cubes		>>> Nombre 8 >>> Racine carrée >>> Puissance fractionnaire

187. Nombres premiers – Algorithme
Algorithme	Commentaire Un algorithme donne les instructions à suivre une par une, la recette, pour arriver à un résultat; ici, déterminer si le nombre p est premier ou composé. Principe Un nombre est premier s'il n'est pas divisible par un nombre plus petit que lui, et même par un nombre plus petit que sa racine carrée. Si le diviseur dépasse la racine carrée, la division par ce nombre donne un nombre plus petit que la racine carrée. Ex: n = 80 = 10 x 8 et Description de l'algorithme Le nombre p à traiter est enregistré. Une boucle de traitement fait progresser la variable i de la valeur 2 à la racine carrée de p. Pour chaque valeur de i, on teste si la division de p par i est un nombre entier. Si oui, c'est que le nombre est divisible par i et alors p est composé. Si après épuisement des boucles, on n'a pas trouvé de diviseur de p, c'est que p est premier

Programme (Maple)		On écrit un programme général, dit procédure, qui teste si le nombre n est premier; puis un programme principal qui produit la liste des nombres premiers. Le symbole # indique que la ligne est un commentaire. La procédure TP sera exécutée pour le nombre n. Initialisation en déclarant que les variables i, imax et premier sont utilisées uniquement dans ce programme. On donne la valeur entière de la racine carrée de n à imax et premier est positionné à vrai. La boucle pour i de 2 à imax est lancée. Si on trouve que la partie fractionnaire (frac) de n/i est nulle, c'est que la division est exacte, sans reste. Le nombre n n'est pas premier. Et, inutile de continuer la recherche (i = imax). On finalise en fermant la condition (fi), la boucle (od), en retournant la valeur de premier, et en signifiant que la procédure est terminée. Le programme principal déclare une liste P. On analyse tous les nombre de 2 à 100 (valeurs au choix) et, pour chacun, on teste si le nombre n est premier en appelant la procédure TP. Si le nombre est premier, il est ajouté à la liste P. Cette instruction se lit: dans P on place une liste [ ] qui contient la liste P connue op(P) et le nombre n en plus. Le programme terminé (od), on demande l'affichage de la liste P.
Brèves associées	>>> Nombres premiers >>> Premiers en 6k+1 et 6k+5		>>> Infinité de nombres premiers >>> Premiers et cryptographie
Pour en savoir plus	>>> Crible d'Ératosthène et sa programmation >>> Algorithme >>> Le plus grand nombre premier connu

188. Polygones
Polygone (poly = nombreux et gonos = angles) Figure géométrique du plan composée d'une succession de segments formant une chaine fermée. Polygone régulier Ses côtés ont la même longueur (équilatéral) et ses angles ont la même mesure (équiangle). Périmètre et aire De tous les polygones à n côtés, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le maximum de surface. De tous les polygones à n côtés ayant une aire donnée, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le périmètre minimum.			Convexe Croisé Concave Équilatéral Équiangle Régulier
Polygones réguliers Triangle équilatéral / Carré / Pentagone / Hexagone / Heptagone / Octogone / Décagone / Dodécagone Polygones étoilés
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Pour en savoir plus	>>> Polygones – Index	>>> Hexagone >>> Noms des polygones

189. Somme de consécutifs
Énigme Combien de billes dans chaque pot de manière à établir l'équilibre. Chaque pot contient une bille de plus que le précédent. Quelques sommes 4 + 5 + 6 = 7 + 8 = 15 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 = 42 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 = 90 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35 = 165 … 100 + 101 + … + 110 = 111 + 112 + … + 120 = 1155 Avec 100, le carré de 10, il y a 10 nombres à droite et 11 à gauche, le premier à gauche étant 100.		Quantité de billes nécessaires pour l'équilibre En commençant par 5 billes ou plus, la balance penchera vers la gauche et cela même en échangeant des nombres d'un plateau à l'autre. Comparez les écarts entre quantité de billes vertes et de billes violettes. Théorème La somme de k + 1 nombres successifs à partir de k² est égale à la somme des k suivants. Exemple
Brèves associées	>>> Somme: 1 + 2 + 3 + 4 + …		>>> La suite qui se lit
Pour en savoir plus	>>> Énigme des cinq pots et sommes de consécutifs >>> Nombres consécutifs – Index

190. Pesée des neuf billes – Énigme
Parmi trois billes visuellement identiques, une seule est légèrement plus lourde. La retrouver en une seule pesée avec cette seule balance à plateau.		Principe de pesée
Balle lourde		Bille 1		Bille 3	Bille 2
Parmi neuf billes visuellement identiques, une seule est légèrement plus lourde. La retrouver en deux pesées.		Il suffit d'appliquer le principe de pesée deux fois: une première fois à trois groupes de trois billes (G1, G2, G3) une deuxième fois aux trois billes du groupe le plus lourd ou au groupe mis de côté en cas d'équilibre. Notez que ce principe peut s'appliquer en cascade pour 27 billes en trois pesées ou 81 billes avec 4 pesées, etc.
Brèves associées	>>> Poules et œufs >>> Énigme des 30 euros		>>> Énigme de la pesée des quatre billes
Pour en savoir plus	>>> Énigme de la pesée des neuf billes >>> Énigmes de pesées – Débutants et accès à tous les énigmes de pesées

191. Relativité
Avec le son En voiture à 80 km/h, la voiture devant moi qui roule à 110 km/h, s'éloigne de moi à 30km/h. En route à une vitesse égale à la moitié de celle du son (1 200 km/h), le son que j'émets se propage devant moi à la moitié de sa vitesse normale. Dans ce monde, tel que l'avait bien vu Galilée et que Newton a théorisé, les vitesses objet-son se composent (s'ajoutent et se retranchent). Un monde normal, quoi!		Avec la lumière En route à une vitesse égale à la moitié de celle de la lumière (un million de km/h), la lumière que j'émets se propage devant moi à sa vitesse normale. Dans ce monde à très grande vitesse, les vitesses objets-lumière ne se composent pas. On parle de monde relativiste. En 1905, Einstein affirme: la vitesse de la lumière est une constante et rien ne peut aller plus vite.
Masse Einstein, via sa célèbre formule E = mc², indique que l'énergie et la masse sont la même entité physique sous deux formes différentes: l'une peut être changée en l'autre – Principe d'équivalence. Masse en mouvement Un objet en mouvement possède sa masse propre plus une masse due à l'énergie cinétique (l'énergie du mouvement) Alors, plus un objet va vite, plus il est "lourd". avec v = 0,1c, la masse augmente de 0,5%, avec v = 0,9c, la masse double, et avec v = c, la masse devrait être infinie.		Effet à très grande vitesse À la vitesse de la lumière (ou presque): augmentation de la masse. dilation du temps: le temps ralentit. À 0,9 c, le temps s'écoulera à la moitié de la vitesse normale. La montre marquera 10 min pour une réalité de 20 min observée par un observateur resté sur Terre. aberration spatiale: l'espace est rétréci; le champ de vision devant vous deviendra une "petite fenêtre". Les photons de toutes parts se dirigent vers vous. Doppler: la lumière des étoiles en face de vous se rassemblent et les objets deviennent bleus. Ceux de derrière s'étalent et deviennent rouges. Phénomène qui s'amplifie avec la croissance de la vitesse en décalant les longueurs d'onde en dehors du spectre visible. Les objets deviennent invisibles.
Brèves associées	>>> Formule de la relativité		>>> Brèves Sciences – Index
Pour en savoir plus	>>> Relativité de Galilée >>> Relativité d'Einstein >>> Vitesse du son (330 m/s) >>> Masse		>>> Galilée – Biographie >>> Einstein – Biographie >>> Célérité de la lumière (300 000 km/s) >>> Spectre visible

192. Calculatrice – Outils de calcul
La calculatrice de votre ordinateur Elle effectue tous les calculs en présentant un résultat sur 32 chiffres. Le tableur Excel n'en offre que 15. Un logiciel de calcul (Maple ou Maxima) en offre davantage. Accès à la calculatrice de votre ordinateur Taper calculatrice dans la fenêtre en bas à gauche de l'écran. Ou alors, cliquez la fenêtre à quatre carreaux et chercher calculatrice parmi les programmes listés. Petites choses à savoir Mette la calculatrice en mode scientifique (cliquez en haut à gauche). Mettre les angles en degrés ou radians en cliquant sur la touche DEG. La touche sert à effacer les chiffres lors de la saisie.
Extension des fonctions On dispose de deux rangées de fonctions que l'on peut basculer pour obtenir (généralement) les fonctions inverses. Cliquez sur la touche flèche ver les haut. Exponentielles L'exponentielle est obtenue avec la touche e^x et non pas la touche EXP (exposant) qui permet de spécifier un exposant (une puissance) à un nombre.
Pour en savoir plus	>>> Calculatrice		>>> Tableur

193. Premiers résistants
357 686 312 646 216 567 629 137 = 3,5… 10^23 Ce nombre premier de 24 chiffres est remarquable. Si on lui retire le dernier chiffre à gauche, il est encore premier. En fait, il reste premier à chaque fois qu'un chiffre à gauche est effacé. Il existe exactement 260 nombres premiers résistants par la gauche et 83 par la droite. Le plus grand premier résistant à droite: 73 939 133. Il existe 15 nombres qui sont résistants à la fois à droite et à gauche, dont le plus grand: 739 397			Exemple de nombres premiers résistants par la gauche (à l'exception du 1 final, mais notable du fait de la présence des 3) 33 333 331 3 333 331 333 331 33 331 3 331 331 31
Brèves associées	>>> Premiers jumeaux	>>> Premiers en 6k+1 et 6k+5
Pour en savoir plus	>>> Premiers résistants	>>> Nombres premiers >>> Nombre en 10^23

194. Suite de carrés de nombres consécutifs
Belle suite d'égalités entre carrés de nombres consécutifs. Elle se prolonge à l'infini. Le nombre central (4, 12, 24 ou 40) est flanqué d'autant de termes de chaque côté. Avec k termes de part et d'autre du central, le nombre central est: C = 2k (k + 1). Avec k = 4, on a C = 2 x 4 x 5 = 40.		Le triplet de Pythagore le plus célèbre (3² + 4² = 5²), peut être prolongé indéfiniment par des sommes du même type mais avec plus de termes.
Brèves associées	>>> Pépites numériques		>>> La suite qui se lit
Pour en savoir plus	>>> Suite de carrés de nombres consécutifs >>> Triplets de Pythagore

195. Triplets doublement carré
a + b = c² et a² + b² = d² Triplet de Pythagore dont la somme des deux termes est aussi un carré. Le plus petit cas et, en plus, c'est un double motif. Il existe 19 tels motifs pour a et b jusqu'à 1000. En majorité, ils sont doubles comme pour 49.		Plus petit exemple 9 + 40 = 7² = 49 9² + 40² = 41² = 1 681 Mise en évidence du double motif pour 49 49 = 7² = 9 + 40 et 9² + 40² = 41² = 1 681 49 = 7² = 21 + 28 et 21² + 28² = 35² = 1 225
Brèves associées	>>> Triplets de Pythagore		>>> Belle égalité entre carré et cubes
Pour en savoir plus	>>> Triplets doublement carrés		>>> Carrés des nombres

196. Somme des entiers – Démonstration
La formule donnant la somme des nombres entiers de 1 à n est bien connue: S = ½ n (n + 1). Il est facile de calculer la somme comme l'a fait le jeune Gauss. Mais comment démontrer cette formule? Voici une méthode algébrique astucieuse utilisant un polynôme générateur.		S = 1 + 2 + 3 + … + n On tente un polynôme générateur en n², un de degré de plus que dans la somme. S = A + B.n + C.n²
Pour n Pour (n + 1)	Sn = 1 + 2 + … + n Sn+1 = 1 + 2 + … + n + (n+1)	Sn = A + B.n + C.n² Sn+1 = A + B(n+1) + C(n+1)² = A + B.n + B + C.n² + 2C.n + C
Différence Comparaison	D = n + 1 Coefficient de n: Partie constante:	D =Sn+1 – Sn = B + C + 2C.n 1 = 2C => C = 1/2 1 = B + C => B = 1/2
Remplacement	Sn = A + Bn + Cn²	Sn = A + ½ n + ½ n²
Valeur de A	Pour n = 1 => S1 = 1	S1 = A + ½ + ½ = 1 => A = 0
Formule finale
Vérification	S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10	Sn = ½ 4 (4 + 1) = ½ 20 = 10
Brèves associées	>>> Somme: 1 + 2 + 3 + 4 + …	>>> Identités 1 + x + x² + …
Pour en savoir plus	>>> Somme – Méthode de Gauss >>> Somme de 1.2 + 2.3 + … – Même méthode pour des sommes de produits >>> Somme des carrés, des cubes avec même méthode >>> Polynôme

197. Recherche de facteurs
Décomposition en facteur premiers Recherche des divisibilités ultimes des nombres. Les nombres atteints sont des nombres premiers et ceux qui constituent le produit redonnnant le nombre sont les facteurs du nombre. Par exemple: 100 est divisible par 2: 100 = 50 x 2 et 50; à son tour, 50 est divisible par 2: 50 = 25 x 2. Et, finalement 25 = 5 x 5. En résumé: 100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 2² x 5²		Procédé Pour une recherche systématique, les nombres sont alignés. Une croix indique les nombres: divisibles par 2 (un nombre sur deux) ou divisibles par 3 (un nombre sur trois) ou divisibles par 5 (un nombre sur cinq) ou etc. jusqu'à 11 dans notre cas. Ayant constaté ces divisibilités, reste à effectuer les divisions successives (partie inférieure du tableau).
Factorisation des nombres de 100 à 112 Théorème fondamental de l'arithmétique: il affirme que la décomposition en facteurs premiers est unique sauf à échanger (permuter) les facteurs. Ex: 105 = 3 x 5 x 7 = 3 x 7 x 5 = 5 x 3 x 7 = 5 x 7 x 3 = 7 x 3 x 5 = 7 x 5 x 3. Parmi les six permutations, celle par ordre croissant est retenue comme représentative des autres.
Brèves associées	>>> Cinq nombres divisibles par 3		>>> Diviseurs d'un nombre
Pour en savoir plus	>>> Facteurs et diviseurs >>> Th. fondamental de l'arithmétique		>>> Nombre 100 >>> Critères de divisibilité

198. Carré et cube à la fois
Propriété Les nombres à la fois carrés et cubes sont nécessairement des puissances sixièmes: 64 = 2^6 = 8^2 = 4^3 Or, avec le petit théorème de Fermat Valeur 0 pour n divisible par p et 1, sinon. Calculateur prodige Question parfois posée: trouver un nombre tel que la racine carrée est séparée de 18 de sa racine cubique. Réponse: 729.		Motif avec racine carrée et racine cubique Un nombre carré et cube à la fois (puissance 6^e) est de la forme 7k ou 7k + 1.
Brèves associées	>>> Relation entre carrés et cubes		>>> Unités des puissances
Pour en savoir plus	>>> Carré et cube à la fois		>>> Calculateur prodige Inaudi

199. Palindromes
Motif palindrome Un palindrome est un motif qui se lit de la même manière de gauche à droite ou de droite à gauche, comme SOS, RADAR, EVE… Un motif répété par un miroir peut être un palindrome. Mais ce n'est pas le cas des mots ou des nombres pour lesquels chaque lettre ou chiffre est conservé à l'endroit. RESSASSER est le mot palindrome le plus long de la langue française. Humour Un RADAR à double sens flash les automobilistes dans un sens ou dans l'autre. Au jardin d'Eden: – Madam I'm Adam – Eve!		Nombres palindromes de divers types Un nombre palindrome: 12344321 Une addition palindrome: 38 + 83 = 121 Multiplication: 1 089 x 9 = 9 801 Palindrome premier: 101 Palindrome uniforme: 111, 666 Palindrome triangulaire: 3003 Palindrome carré: 101² = 10201 Palindrome cube: 11^3 = 1331 Palindrome retard Somme itérative avec le retourné: 69 + 96 = 165 + 561 = 729 + 627 = 1353 + 3531 = 4884 Le nombre 196 est le plus petit dont on ne sait pas s'il finit en palindrome: nombre de Lychel.
Brèves associées	>>> Pépites numériques		>>> Brèves – Motifs et formes – Index
Pour en savoir plus	>>> Palindromes numériques		>>> Palindromes mots et textes

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