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Édition du: 16/09/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Cercles Défis en géométrie Géométrie	CERCLES
	Index	Inscrit	Sangakus
	Introduction	Trois cercles – Construction	Quatre cercles
		Chapelet de cercles

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Chapelet de cercles Une série de cercles de même rayon et tangents deux à deux. Surprise ou paradoxe: la différence d'aire entre les secteurs externes (bleus) et les secteurs internes (rouges) est constante et égale à 2π quel que soit le polygone. On retrouve une propriété semblable avec le paradoxe de la corde tendues autour d'un cercle.
	Sommaire de cette page >>> Cas de polygones simples >>> Calcul d'angles >>> Cas de polygones quelconques >>> Calculs express	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Cas de polygones simples		haut
Carré et cercles À chaque sommet d'un carré, on place un cercle centré sur le sommet et de rayon moitié du côté du carré. Les cercles sont donc tangents deux à deux. Quelle est la différence d'aire entre la zone bleue et la zone rouge ? Réponse Cette différence se lit sur la figure:
Triangle équilatéral et cercles À chaque sommet du triangle, on place un cercle centré sur le sommet et de rayon moitié du côté du triangle. Les cercles sont donc tangents deux à deux. Quelle est la différence d'aire entre la zone bleue et la zone rouge ? Réponse Cette différence se lit sur la figure:
Hexagone et cercles À chaque sommet, on place un cercle centré sur le sommet et de rayon moitié du côté de l'hexagone. Les cercles sont donc tangents deux à deux. Quelle est la différence d'aire entre la zone bleue et la zone rouge ? Réponse Cette différence se lit sur la figure:
Observation Quelle que soit la figure, la différence d'aire est égale à celle de deux disques.	Est-ce généralisable à tout polygone ? Régulier ou irrégulier ? Convexe et concave ? Réponse: oui !

Voir Brève 53-1042

Calcul d'angles		haut
Dans l'hexagone Prenons un point quelconque et traçons tous les segments joignant les sommets. On forme ainsi six triangles dont la somme des angles de chacun est 180°, soit un total de 6 × 180°. Parmi eux, l'angle au centre fait 360°. Les autres angles, ceux de la zone rouge, comptent pour: AR = 6 × 180° – 360°. Généralisation Un polygone quelconque à n côtés conduira à la formation de n triangles. Le même raisonnement que ci-dessus s'applique et donne la formule pour les angles rouges: AR = n × 180° – 360°

Cas de polygones quelconques		haut
Aire et angles L'aire d'un secteur rouge est proportionnelle à l'angle du secteur. L'aire de toutes les zones rouges devient: L'aire de toutes les zones bleues, par différence: Différence entre zone bleue et zone rouge:

Version calculs express

Somme des angles de la zone rouge: 180n – 360

Somme des angles de la zone bleue: 180n + 360

Différence d'angles (bleue – rouge): 2 × 360
Différence d'aires (bleue – rouge): πR² × 2 × 360/360 = 2πR²

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Suite	Sangakus – Autres constructions géométriques Arbelos Carré et deux cercles tangents Cercle inscrit Chaine de Pappus Puissance d'un point par rapport à un cercle Quatre cercles Rayon du cercle circonscrit Sangakus
Voir	Bissectrices Cercle – Index Cercles et triangles Cône Diamètre Géométrie – Vocabulaire Périmètre Sphère
Sites	String of beads puzzle – Mind your decision – Presh Talwalkar - 2023
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Chapelet.htm