NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/09/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Géométrie		Étoile	Aire Phi	Cercle
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Sommaire de cette page >>> Pentagone et étoile à 5 branches >>> Étoile et nombre d'or >>> Pentagone et nombre d'or

Étoile à cinq branches

et nombre d'or

PENTAGONE ET ÉTOILE À 5 BRANCHES
Pentagone Les diagonales se divisent l'une l'autre en section dorée. Aussi, AC / AB = Φ	Étoile A, M et C forment une section dorée. Aussi, AC / AB = Φ
Tous les triangles de cette figure (ADC, ABR, ABE, AND …) sont des triangles (isocèles) dorés: le rapport côté sur base, ou l'inverse, est le nombre d'or. Ces figures, figurant la santé chez les Grecs, furent le symbole et le signe de ralliement des adeptes de la Société pythagoricienne. Ces figures sont en effet un réservoir inépuisable de rapports d'or. Les propriétés sont regroupées en 12 groupes (12 Apôtres) ou 13 (présents à la Cène). Ci-dessous, elles sont ordonnées par thèmes mathématiques.

Voir Étoile à 5 branches / Fleurs à 5 pétales

ÉTOILE et PENTAGONE interne (unité)
La base est le petit triangle rectangle bleu, dont deux accolés forment un triangle isocèle d'or: sa base mesurant 1, ses côtés mesurent Phi = 1,618, le nombre d'or; et, sa hauteur mesure 1,54 (avec 1,54² = 1,618² – 0,5²). Compte tenu des relations entre Phi et ses puissances, on trouve simplement Phi, son carré et son cube dans cette figure.

Voir Angles du pentagone / Autres mesures du pentagone / Phi et médiatrice du pentagone / Décagone

Nombre d'or dans le pentagone de côté unité

Voir Nombre d'or et ses puissances / Série et nombre d'or

PENTAGONE et nombre d'or

Angle au sommet: 108° =

2 cos(108°) = 1 – = –1/ = 0, 618…

On prend PT = 1, alors A'P = F

r = rayon du cercle qui inscrit le petit pentagone P Q R S T

R = rayon du cercle qui inscrit le grand pentagone A'B'C'D'E'

Valeurs

1	B'D' =	F ^3
2	B'S = B'A' =	F ²
3	B'R =	F
4	RS =	1
5	RX =	1/F
6	XZ =	1/F ²

Section

10	SXQ, PXR, B'XT	sections dorées
11	B'VA', B'QP, B'XT, B'SD'

Rapports

7	OA/r =	F /2
8	R/r = OA'/r =	F ²
9	OA'/OA =	2F

Pyramide à base pentagonale

Relevons tous les sommets

A', B', C', D' et E'

en sommet H d'une pyramide

12	OH/OA =	2
13	OH/r =	F

Notes:

Angle d'une branche d'étoile: 36 degrés = pi / 5

Cet angle trisecte l'angle du pentagone: 3 x 36° = 108°.

Les côtés des triangles isocèles formant l'étoile sont en sections dorées avec la base. Chaque pointe est un triangle d'or.

Suite	Série et nombre d'or Triangles et rectangle – Aire Phi Valeurs du nombre d'or Construction Trigonométrie Aire du pentagone
Retour	Pentagones – Généralités Pentagone sous toutes les coutures
Aussi	Cercle Constante Pi Constantes Mathématiques Construction géométrique des nombres Série du type Fibonacci et cousins
DicoNombre	Nombre 1,618… Nombre 36
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