NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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OBJETS FRACTALS

 

Débutants

Fractales

Pentagones fractals

de Dürer

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Objets fractals

 

 

Sommaire de cette page

>>> Construction

>>> Propriétés

>>> médiatrices et nombre d'or

 

 

 

 

Pentagones fractals

de Dürer (1525)

  

Figure fractale avant l'heure.

Remplacer une figure pentagonale par elle-même en plus petit.

 

Dessin itératif qui peut faire l'objet d'une activité sur ordinateur.

 

Albrecht Dürer (1471-1528)

Note: Il est aussi connu pour la construction du pentagone presque régulier (avec cinq cercles).

           Voir son tableau Mélancolie et son carré magique
Construction approchée du Pentagone

 

 

  

Pentagones fractals de Dürer

Trois étapes de construction

 

 

 

 

Propriétés

 

Valeurs

                 Rapport d'homothétie        2,618 … nombre d'or plus un

                 Dimension fractale             1,861 …

 

Calcul du rapport d'homothétie

 

D est la longueur de la médiatrice du grand pentagone

d est celle du petit

Le rapport d'homothétie vaut:   D / d

 

Exprimons D et d en fonction de R le rayon du cercle circonscrit au petit pentagone; a étant son apothème.
Sans changer le rapport, prenons R = 1.

Les formules sont issues de la page angles du pentagone

 

d = R + a    = 1 + ( +1)/4 = ¼ (5 + )

 

D = 2d + H = 2 + ( +1)/2 + /2 = ½ (5 + 2)

 

Calculons cette valeur en multipliant en haut et en bas par le conjugué du dénominateur:

 

 

 

Calcul de la dimension fractale

L'hexagone initial est remplacé par 6 hexagones plus petits.

Et le rapport d'homothétie vient d'être calculé.

La dimension est:

 

 

 

 

Nouvelles relations dans le pentagone en fonction du nombre d'or

 

Suite aux calculs ci-dessus, voici la relation entre les médiatrices du grand pentagone et du petit.

 

Voir Nombre d'or

 

 

Suite

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