NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Construction médiévale

>>> Construction de Ian Mansour de Grange

>>> Construction de J.-L. Breuil

>>> Évaluation de la hauteur du pentagone

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER

Constructions approchées étonnantes !

  

D'abord une construction médiévale particulièrement simple.

Puis, deux constructions tout aussi simples proposées par Ian, à partir d'un triangle équilatéral implanté dans un carré. Précision 4 et 3 pour mille.

La construction suivante, tout aussi étonnante, m'a été proposée par Jean-Louis Breuil. Il s'agit d'une construction inattendue mêlant carré, triangles équilatéraux et bissectrice.

Voir La construction exacte / Approchée de Dürer

 

 

Construction médiévale avec règle graduée

 

Pour commencer, une construction approchée particulièrement simple à réaliser.

 

Construction de l'angle

*    Sur l'axe vertical marquer B en (0, 10) et C en (0, -7)

*    Cercle (B, BC). Intersection en D et E avec la droite horizontale en A.

*    L'angle DBE est pratiquement celui du pentagone régulier à 0,06 ° près.  Une approximation à 0,6 pour mille.

 

Approximation

sin 36° = cos 54°

= 0,587785252…

10 / 17

= 0,588235294…

Écart

= 0,000450042…

  

 

BA = 10

BD = 17

 

Construction approchée du pentagone pour géomètre ou arpenteur

*      Construire l'angle en B et les deux côtés BD et BE du pentagone (Cf. ci-dessus).

*      Reporter l'angle de B en D et E (en vert) à l'aide d'un rapporteur d'angle réglable

*      Demi-droites DF et EG.

*      Cercles (D, BC) et (E, BC). Intersections F et G, les deux derniers sommets du pentagone.

 

Un agrandissement montre le pentagone régulier en pointillés bleus. L'écart entre les deux points est inférieure à 1 mm pour une hauteur du pentagone de 25 cm.

 

Voir  Angles en Pi / 5  / Construction approchée avec arctan(3) voisin de 72 °

 

 

 Constructions proposées par Ian

 

Une construction approchée particulièrement simple à réaliser au prix d'une trisection.

 

Construction approchée du pentagone pour géomètre ou arpenteur

*    Un carré et un triangle équilatéral emmanché en ses 2/3.

*    Trois arcs de cercles selon les pointillés. Ils créent deux points d'intersections externes.

*    Ces deux points, le sommet du triangle et les deux sommets  à la base du carré forment un pentagone pratiquement régulier.

 

Figure

Pentagone approché en bleu.

Pentagone régulier en pointillés roses, à peine visible à la pointe supérieure.

 

Longueur la hauteur verticale en pointillés pour chacun des pentagones.

Précision de 0,4 %
(4 mm pour 1 mètre)

Voir Nombres en 1,53… / Brève 664

 

 

Une autre construction approchée très simple.

*      Un triangle équilatéral ABC dont un côté est une médiane d'un carré.

*      Le point E est le milieu de CD.

*      Cercle (E, EA)

*      Demi-droites CF et CK qui déterminent les points F et K.

*      Segments FG et KH de même longueur que CF et CK, quatre côtés du pentagone.

*      Le segment GH est le cinquième côté avec une longueur approchée à 0, 3% (0,292%).

 

Précision du même ordre que la construction qui suit, basée  sur un principe analogue.

 

 

  

Merci à Ian Mansour de Grange pour ces petites "cerises", comme il appelle ces constructions

 

 

Construction proposée par J.-L. Breuil

Étapes de construction du pentagone régulier ABCDE

 

*      Carré de base AB;

*      Triangles équilatéraux en bas et en haut du carré (verts);

*      Bissectrice (rouge) de l'angle FBH, lequel vaut 15°;

*      Point G intersection de la bissectrice et de la droite FH, laquelle est l'axe de symétrie de la figure;

*      Le milieu D de HG, qui est le troisième sommet du pentagone;

*      Trois cercles de rayon AB et de centre A, B et D; et

*      Les points C et E, intersections des cercles, lesquels sont les deux derniers sommets du pentagone.

 

 

 

Note

La construction exacte du pentagone selon ce type de méthode est très proche.

En effet

Point D exact = intersection des cercles (B, BE) et (A, AC)

Cercles en rouge qui se croisent sur le point D de la figure. Il faudrait grossir beaucoup pour observer la différence.

 

 

Valeur de l'angle

Repérez les deux losanges verts: AFHI et BFHJ. Losanges car quatre côtés égaux: BF = BJ = HJ = HF qui sont aussi égaux à AB  = 1.

L'angle au sommet du losange (30°) est partagé en deux  angles de 15° par la diagonale du losange. À son tour la bissectrice BG (en rouge) partage l'un d'eux en deux angles de 7,5°.

L'angle ABG vaut 60 + 7,5 = 67,5° = 3Pi/8 radians. Sa tangente vaut 1 + racine de 2.

Voir Angles en pi/8 – Calcul des lignes trigonométriques / AnglesIndex

 

 

Évaluation de la hauteur du pentagone

 

Évaluation de la hauteur du pentagone

 

De ce côté (à gauche), la hauteur H du pentagone vaut:

H = 1, 5388 … à comparer à la hauteur de la figure H'.

 

Un écart de 0,00227, soit 0,15%.

 

 

Évaluation de la hauteur de la figure construite

 

 

 

 

Construction avec GeoGebra

 

Valeurs relevées

 

Comparaison

e est la hauteur du pentagone.

f1 et g1 sont les hauteurs aux points G et H

Le point milieu est à la hauteur (demi-somme):    9,2196

À comparer à 9,2333

Écart: 0,1366, soit 0,15 %.

 

 

Formule exprimant  la différence

 

 

 

Merci à Jean-Louis Breuil

 

 

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Sites

*    Pentagons in Medieval Sources and ArchitectureKrisztina Fehér, Brigitta Szilágyi, Attila Bölcskei & Balázs Halmos – 2019

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PentaCur.htm