NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Dénombrement

 

Débutants

Général

Principe des TIROIRS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Dénombrement

Débutant

Exemples

Connaissances

Nb en 00 ..01

Introduction

Divisibilité 10

Divisibilité 2n

Divisibilité n

 

Sommaire de cette page

>>> Exemples de la VIE COURANTE

>>> Exemples     en GÉOMÉTRIE

>>> Exemples     en ARITHMÉTIQUE

>>> Exemples     en DIVISIBILITÉ

>>> Exemples     en THÉORIE DES NOMBRES

>>> Exemples     en COMBINATOIRE

>>> Points dans le carré

 

 

 

 

EXEMPLES de la vie courante

Hommes et femmes

 

Parmi trois personnes,  il y en a toujours deux qui sont du même sexe.

Chaussettes

Il suffit de trois chaussettes pour former une paire.

Mois de l'année

Parmi treize personnes, il y en a toujours deux qui sont nées le même mois.

Jours de l'année

Parmi 366 personnes, deux sont nées le même jour de l'année (année bissextile).

 

Ne pas confondre avec le célèbre paradoxe des anniversaires

Cheveux

La quantité de cheveux sur un crâne est inférieure a 200 000. Dans une ville de 200 001 habitants, deux personnes au moins ont le même nombre de cheveux.

Voir JeuxIndex

 

 

EXEMPLES - Géométrie

Triangle et tétraèdre

Une droite ne coupe jamais les trois côtés du triangle.

Un plan ne rencontre jamais les quatre faces du tétraèdre.

Triangle cible

Cible en forme de triangle équilatéral de côté 2

Cinq fléchettes sont dans la cible.

Alors, il y en a deux au moins dont la distance est inférieure ou égale à 1.

Quadrillage

Sur le plan en coordonnées entières (réseau), on choisit cinq points.

Il en existe toujours deux tels que le milieu du segment qu'ils forment est un point du réseau (coordonnées entières).

Carré

Un carré de côté unité et 51 points à l'intérieur

Il y a au moins trois points dans un disque de rayon 1/7.

Voir GéométrieIndex

 

 

EXEMPLES – Arithmétique

Pair Impair

Parmi trois nombres, il en existe toujours deux pairs ou deux impairs.

Par trois

Sur quatre nombres, deux, au moins, ont le même reste dans la division par trois.

Chiffres

Parmi onze nombres, il en existe toujours deux ayant des chiffres en commun.

Entiers

Douze entiers distincts à deux chiffres.

Il en existe deux dont la différence est de la forme aa.

Somme

Dix entiers à deux chiffres.

Il existe deux sous-ensembles disjoints tels que leur somme sont égales.

Entiers

Soit les 101 entiers de 1 à 101, écrit dans un ordre quelconque.

Il est toujours possible d'en sélectionner 11 de sorte qu'ils forment une suite monotone croissante ou décroissante.

Erdös et Szekeres

Somme

Une suite de n entiers distincts ou non.

Il existe toujours un sous-ensemble de ces nombres dont la somme est divisible par n.

Différence

Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70.

Leur différence deux à deux.

Parmi elles, il y a quatre nombres égaux.

Voir Solution

Voir Opérations

 

 

EXEMPLES – Divisibilité

Divisibilité par 5

Parmi 4 nombres entiers.

Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 5.

Divisibilité par 10

Parmi 7 nombres entiers.

Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 10.

Divisibilité par 12

Soit quatre entiers a, b, c, d.

Le produit (b-a) (c-a) (d-a) (c-b) (d-b) (d-c) est divisible par 12.

Démonstration

Divisibilité par 100

Parmi 52 nombres entiers.

Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 100.

Divisibilité

Soit n + 1 nombres choisis dans l'ensemble { 1, 2, … 2n }.

Il y en toujours un qui en divise un autre.

Il y en deux, au moins, qui sont premiers entre eux.

Divisibilité

Soit n entiers, aucun divisible par n.

Il existe un sous-ensemble de ces nombres tel que leur somme est divisible par n.

Suite et démonstration

Voir DivisibilitéIndex

 

 

EXEMPLES – Théorie des Nombres

Puissance

Soit le nombre a,  premier avec 2 et 5.

Et une forme de n chiffres F = 00…1.

Pour tout n, il existe une puissance de a qui se termine par F.  >>>

Puissance de 2

Il existe une puissance de 2 qui commence par 6.

Ce résultat est plus général et s'applique à toute sorte d'entiers:

Soit une suite d'entiers quelconque, il existe une puissance de 2 qui commence par cette suite.

Multiple

Soit le nombre a,  premier avec 2 et 5

Il existe un multiple de a ne comportant que des 1 (repunit).

Nombres décimaux

Les nombres a et b sont premiers entre eux.

La représentation décimale a/b d'un nombre a une période de longueur au plus b – 1.

Premiers ente eux

Soit les nombres: a, a+d, … , (n-1)d.

Si aucun n'est divisible par n.

Alors  d et n sont premiers entre eux.

Distance

Soit les réels positifs a, 2a, … , (n-1)a .

L'un au moins est distant d'un entier d'au plus 1/n.

Voir Théorie des nombresIndex

 

 

 

EXEMPLES - Combinatoire

Connaissances

Dans une pièce contenant n personnes.

Il y en a au moins deux qui ont le même nombre de connaissances.

Groupe de 6

Parmi six personnes.

Il y en a toujours trois qui se connaissent ou bien trois qui sont étrangères.

Groupe de 9

Parmi neuf personnes.

Il y en a toujours trois qui se connaissent deux à deux ou quatre qui ne se connaissent pas du tout deux à deux.

Salut

Dans une pièce n personnes se serrent la main entre elles.

À n'importe quel moment, il y a toujours deux personnes qui ont serré exactement le même nombre de mains.

Voir CombinatoireIndex

 

 

Points dans le carré

haut

 

Problème

Un carré de côté 1.

Cinq points internes ou sur le périmètre.

 

Montrer qu'il existe au moins une paire de points éloignés au maximum de

 

Solution

Dessiner les médianes qui partagent le carré en quatre carrés identiques.

Avec quatre régions à remplir avec cinq points, selon le principe des tiroirs, il existe au moins deux points dans le même petit carré.

Or, la longueur de la diagonale du petit carré est .

 

Voir Brève 781

 

 

 

 

Suite

*  Connaissances

Voir

*  Dénombrement et tiroirs

*  Inventaire des outils mathématiques

*  Paires divisibles

Aussi

*  CompterIndex

*  Compter

*  JeuxIndex

*  Factorielle et ses cousins

*  Jeux de hasard

*  Grenouilles

*  Probabilités

Livre

*  Solutions d'expert – Arthur Engel – Pole / Cassini - 2007

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