NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/12/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	JEUX
Débutants Énigmes	Jeux de hasard				Glossaire Combinatoire
INDEX Jeux Dénombrement Grands nombres	Amusements	Pile ou Face	Dés	Loto 1er rang
		Cartes	Tiercé	Loto rangs suivants
		Partage de Pascal		Loto en groupe
			Loto traditionnel avec cartons
		Sommaire de cette page >>> Approche prudente >>> Principe du dénombrement >>> Comment calculer: mise sur 3 parmi 5 >>> Cas général >>> Jouer toute sa vie >>> Loto français >>> Euromillions

Le loto, c’est un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques.

Pour le gros lot de 500 000 F, il était absolument inutile de vendre tant de billets puisqu'il n'y en a qu'un qui gagne.

Jules Jouy (cité par Claude Gagnière)

Le mariage n'est pas une loterie, à la loterie on gagne parfois.

George Bernard Shaw

J'ai entendu dire que le gouvernement allait taxer les ignorants en maths. – Ah, bon, je croyais que c'était déjà fait avec le loto ! Gallagher

Voir Pensées & humour

LOTO & TOMBOLAS

Jeux de chance consistant à miser sur un certain nombre de numéros qui s'ils sortent en totalité ou en partie rapporte un gain.

Son nom vient de l'italien lotto, jeu de hasard, lui-même issu du français lot, un impôt institué à Florence en 1530. On s'en acquittait via un jeu de hasard obligatoire. Il s'agissait du loto avec pions et cartons encore en usage en France. Le Loto de la Française des Jeux a été introduit en 1976.

Records de gain:

Loto États-Unis: 480 millions d'euros (640 millions de dollars) – Trois personnes en 2012;

Euro Millions: 190 millions d'euros en 2012;

Loto France : 24 millions d'euros en 2011.

Gagnant en Haute-Savoie: deux fois à My Million en 2017 et 2018.

Il avait une chance sur 16 000 milliards (Rappel: Loto: 1/ 19 millions et Euro Millions: 1 / 140 millions)

190 millions d'euros à l'Euro Millions (10/8/2012).

Joueur du Royaume-Uni.

Équivalent à 4, 5 tonnes d'or ou un Airbus A350-800

Record historique de la loterie européenne.

Probabilité de gagner: 1/ 116 531 800.

14 joueurs au deuxième rang ont gagné chacun: 2,6 millions d'euros.

Gains record suivants:

185 millions R-U en 2011

169 millions France 2012

162 millions France 2011

129 millions R-U en 2010

Euro Millions: créé en 2004. regroupe 10 loteries de 9 pays.

Loto: double hasard

22 millions d'euros gagnés le 13 juillet 2013, le deuxième gain record du loto. Ce gagnant avait déjà gagné 50 000 francs, il y a vingt ans, jour pour jour. Il faut dire qu'il jouait régulièrement depuis 1976: 10 tickets par semaine et de l'ordre de 100 euros pour les grosses cagnottes. Il n'a retrouvé le sommeil que neuf jours après la nouvelle.

L'Histoire se répète deux fois, " la première fois comme une tragédie, la seconde fois comme une comédie ". Karl Marx

Record du loto: 24 millions d'euros en 2011.

Probabilité de gagner le gros lot: 1 / 19 068 840.

Mise de base: 2 euros.

Approche prudente!
J'achète deux fois plus de billets (20 au lieu de 10) pour avoir deux fois plus de chances (2/1000 au lieu de 1/1000). C'est vrai, pour le jeu auquel je joue actuellement. Mais si, au loto suivant, la quantité de billets mis en jeu double (20 000 au lieu de 10 000), en acheter deux fois plus ne change rien (20 / 20 000 donne une probabilité de 1/1000 comme au départ). La probabilité de tirage d'un numéro est totalement indépendante de ce qui s'est passé aux tirages précédents. La probabilité de tirer une configuration typique comme 12345 est absolument identique à celle de tirer une configuration quelconque comme 2 5 10 27 36.	10 / 10 000 = 1 / 1000 20 / 10 000 = 2 / 1000 10 / 10 000 = 1 / 1000 20 / 20 000 = 1 / 1000 La probabilité de tirer le 1 est de 1/49, identique aujourd'hui même si hier il a déjà été tiré. Le tirage au hasard du loto se moque des configurations esthétiques. Elles sont aussi probables que n'importe quelle autre.

Principe du dénombrement

Compter les possibilités au loto n'est pas très compliqué. Il s'agit de combinaisons. Autrement-dit d'un tirage de p nombres parmi n tous différents. On dit sans remise. Ce qui veut dire que les numéros sont tirés les uns après les autres. Ceux qui sont élus ne font plus partie du pot de tirage. Exemple avec trois boules Dénombrement Premier tirage: trois possibilités: la 1, la 2 ou la 3 Deuxième tirage: parmi les deux boules restantes, deux possibilités Troisième tirage: la boule restante. Au bilan: 3 x 2 x 1 = 6 possibilités. Gagnant Dans ce jeu-exemple, il faut miser sur deux numéros. Par exemple le 2 et le 3. En deux tirages, les possibilités se lisent sur l'illustration: 12, 13, 21, 23, 31 ou 32. Il y a deux possibilités de gain sur six possibilités de tirage. On dit 2 cas favorables sur 6 au total. Soit 2 chances sur 6 ou 1 chance sur 3. La probabilité, un nombre de 0 à 1, est égale à 1/3 = 0,333… ou 33,3 …%. Remarques Le nombre de cas total est égal à 6, produit de 1 x 2 x 3 = 3! (factorielle). Les cas favorables sont tous ceux qui donnent les numéros choisis, dans un ordre quelconque (ici: 23 ou 32).

Comment calculer: mise sur 3 parmi 5
Ce tableau montre que si je joue le 1 2 3, j'ai six possibilités de gagner parmi 60 cas de possibilités de tirage. On dit 6 cas favorables sur 60 cas possibles. Soit une chance sur 10, ou encore une probabilité de 1/10 = 0,1 = 10%.
Quantité totale de possibilités de tirages de trois numéros. En tirant la première boule, j'ai 5 possibilités; il n'en reste plus que 4 avec la deuxième boule puis 3 avec la troisième.	T = 5 x 4 x 3 = 60
Quantité de cas favorables: 1 2 3 est mon choix. Cependant, je gagne indépendamment de l'ordre dans lequel ces numéros vont venir.	F = 3 x 2 = 6
Probabilité de gagner: je gagne dans 6 cas sur 60.

Cas général
Tirage de p numéros parmi n Il s'agit du calcul des combinaisons.
Exemple avec 6 numéros parmi 49 (loto français avant 2008). Remarquez la simplification importante des calculs (rose) et la simplification de la fraction en faisant disparaître le dénominateur (par exemple le 5 avec 45, l 4 avec 44 …).
Pour information.

Jouer toute sa vie
Combinaisons au Loto simple 6-49
Sur une vie de 18 à 80 ans, à raison de deux jeux par semaine, vous jouerez environ 6 500 fois
La probabilité de perdre à tous ces tirages: nombres de grilles perdantes sur total des grilles. Ce sont des événements qui s'enchainent sans lien: application du principe multiplicatif.
Probabilité de gagner lors de toutes ces parties	P = 1 – PP = 0,0004647151 Soit 1 chance sur 2 152

Voir Miser sur toutes les combinaisons

Cas du lot français (depuis 2008)
5 numéros parmi 49 et 1 numéro parmi 10 (numéro chance).

Cas de l'Euromillions
5 numéros parmi 50 et 2 numéros parmi 11 (étoiles).

Bilan

Le loto est une loterie dans laquelle beaucoup misent et perdent pour que quelques uns gagnent. Cela fait des heureux, c'est certain! Cependant les plus gros gagnants au fil du temps sont sans conteste la Française des jeux et l'État. Le taux de restitution aux joueurs est de 68% (source: règlement du Loto); notons que les machines à sous rendent de 90 à 95 % aux joueurs.

Suite	Loto – Deuxième rang et suivants Loto traditionnel avec cartons
Voir	Combinatoire - Développement Combinatoire - Glossaire Dénombrement – Index Exemple de dénombrement avec 4 parmi 8 Laplace Probabilités - Glossaire Probabilités et logique Tirage façon loto – Grille multiple Triangle de Pascal
DicoNombre	Nombre 25 % (trois pièces) Nombre 36,8 % (chiffres) Nombre 190 millions (gain) Nombre 34 milliards (chiffre d'affaire)
Site	Probabilité conditionnelle, indépendance – Université de Lyon If I buy 2 lottery tickets do I double my chance of winning? – Mathematics (forum)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/HazLoto.htm