NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 13/12/2012

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Dénombrement

 

Débutants

Général

Principe des TIROIRS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Dénombrement

Débutant

Exemples

Connaissances

Nb en 00 ..01

Introduction

Divisibilité 10

Divisibilité 2n

Divisibilité n

 

Sommaire de cette page

 

>>> Propriété

>>> Exploration

>>> Démonstration

>>> Expérimentation

 

 

 

Divisibilité dans 2n nombres

 

Propriétés fascinantes de divisibilité d'une suite de nombres de 1 à 2n.

 

 

 

Propriétés

 

Données

 

Dans l'ensemble des nombres entiers {1, 2, … , 2n}, choix au hasard de n + 1 nombres.

 

Affirmation

 

Il y en a toujours un qui en divise un autre.

 

Exemple

 

n = 4; 2n = 8

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 

Choix de cinq nombres 3, 5, 6, 7, 8.

Ici: 3 divise 6.

 

Observation

 

Notons que, du fait du choix de l'intervalle, il a y autant de nombres pairs que de nombres impairs.

 

Observation dans l'exemple

 

4 nombres pairs.

4 nombres impairs.

 

Note importante

 

Dans cette affirmation le nombre 1 est bien à considérer comme un diviseur.

 

Exemple

 

n = 2

{1, 2, 3, 4}

 

Choix de trois nombres 1, 2, 3.

Ici: 1 divise 2 et 3.

 

 

 

 

Exploration

 

 

 

Démonstration

 

Principe

 

L'idée va consister à travailler sur la parité des nombres choisis.

 

 

Démonstration

Sélection de n + 1 nombres.

 

Mise sous une forme particulière, en séparant la partie paire de la partie impaire

 

 

a1 a2  … an+1

 

ai = 2k bi

avec bi impair

 

Remarque: si b est déjà impair, alors k vaut 0 comme par exemple

7 = 20 x 7 = 1 X 7

 

 

Nous venons de former n + 1  nombres impairs

 

Ils sont tous dans l'intervalle de départ, car plus petits que 2n.

 

b1 b2  … bn+1

 

 

bi  {1, 2, … , 2n}

 

Or dans cet intervalle, il n'y a que:  (voir l'observation liminaire)

 

Selon le principe des tiroirs, en tirant n + 1 nombres impairs parmi n, il en existe toujours deux qui sont égaux.

 

 

 

n nombres impairs

 

 

bn = bm

 

 

En revenant vers les nombres initiaux en a.

Note: on positionne les nombres dans un sens tel que q soit positif.

an  / 2k =  am / 2h

an        =  (2k / 2h) am

     an   = 2q am

 

En tenant compte de la puissance de 2, on peut affirmer qu'un des nombres initiaux en divise un autre.

Le diviseur étant une puissance de deux.

an  am ou l'inverse

 

 

  

Suite

*Nombres en 00 ..01

*  Dénombrement et tiroirs

*  Divisibilité

Voir

*  Coïncidences

*  Dénombrement et tiroirs

*  Sudoku

*  Exemples d'applications

Aussi

*  Compter

*  JeuxIndex

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Denombre/Tiroir/Tiroir2n.htm