NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

Débutants

Général

Principe des TIROIRS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Dénombrement

Débutant

Exemples

Connaissances

Nb en 00 ..01

Introduction

Divisibilité 10

Divisibilité 2n

Divisibilité n

 

Sommaire de cette page

 

>>> Propriété

>>> Démonstration

>>> Expérimentation

 

 

 

n nombres divisibles par n

 

Propriétés fascinantes de divisibilité d'une sélection quelconque de n nombres.

 

 

 

PROPRIÉTÉ

 

Données

On choisit n entiers, distincts ou non.

 

Affirmation 1

Il existe toujours un sous-ensemble de ces entiers dont la somme est divisible par n.

 

Affirmation 2

Dans la liste ordonnée de ces nombres, il existe deux rangs p et q tels que la somme des nombres entre ces deux rangs est divisible par n.

 

 

Exemples

 

n = 4

1, 13, 7, 5

1 + 7 = 8 divisible par 4

 

 

1, 5, 7, 13

7 + 13 = 20 divisible par 4

5 +   7 = 12  divisible par 4

 

 

Démonstration

 

Principe

Démonstration en deux temps

*    On va trouver deux nombres qui produisent le même reste dans la division par n et,

*    Dire que leur différence est divisible par n.

 

 

Démonstration

Formons les sommes suivantes:

s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , … ,

sn = a1 + a2 + … + an

 

Il se peut qu'une des sommes soit divisible par n, alors on aurait trouvé ce que l'on cherche.

 

Dans le cas où une somme est divisible par n, le reste est 0.

Dans les autres cas, le reste sera différent de 0.

 

 

Sinon, on considère leur reste dans la division par n (on dit modulo n).

 

Il y a n sommes.

et    n – 1 restes possibles (car le 0 est exclu, comme vu ci-dessus).

 

Selon le principe des tiroirs, il y toujours deux restes identiques

sp = sq

 

La différence de ces deux nombres est la somme des nombres initiaux des rangs q+1 à p (en supposant que Sp est le plus grand).

 

sp = a1 + a2 + … + aq + aq+1 + … + ap

sq = a1 + a2 + … + aq

 

   spsq  = aq+1 + … + ap

 

Leur différence, qui est une certaine somme des nombres initiaux, est divisible par n

 

spsq  est divisible par n

 

ou autrement dit:

sqsq  = 0 mod n

 

 

 

Expérimentation

 

Principe et explication du tableau

 

Nous allons vérifier l'affirmation 2.

Prenons 12 nombres (n = 12) au hasard, ordonnés du plus petit au plus grand (rouge)

La ligne "Somme" est le cumul de la somme du plus grand vers le plus petit  (Ex: 5046 = 4013 + 1033).

La ligne "Div 12" est la division de ce cumul par 12; le résultat est entier ou décimal

La ligne "Entier" est marquée BINGO dès qu'un de ces cumuls est divisible par 12

 

 

Tableau des nombres et des calculs

 

 

Observations

Le premier cumul divisible par 12 est 804, somme des nombres des rangs 3 à 10. Un deuxième apparaît 336 comme la somme des nombres des rangs 4 à 9.

Au total, nous avons six sommes divisible par 12, plus qu'il n'en faut pour vérifier notre affirmation.

 

 

 

  

Suite

*  Dénombrement et tiroirs

*  Divisibilité

*  Paires divisibles

Voir

*  Coïncidences

*  Dénombrement et tiroirs

*  Sudoku

*  Exemples d'applications

Aussi

*  Compter

*  JeuxIndex

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