NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/10/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Approche générale

Approche	Dans son intimité, un nombre révèle sa composition comme: 4 = 2 x 2 12 = 2 x 2 x 3 60 = 2 x 2 x 3 x 5 Notion de facteurs. Ou encore, on peut constater que 60 est divisible par 2, 3 et 5; mais aussi, par les combinaisons de ces nombres: 4, 6, 10, 12, 15, 20 et 30. Notion de diviseurs.
Facteur	Chaque terme d'un produit est appelé facteur. Dans 100 = 4 x 25, les nombres 4 et 25 sont les facteurs du produit.
Diviseur	Si le nombre d divise le nombre n, alors d est un diviseur de n 5 est un diviseur de 10 37 est un diviseur de 111. Autrement-dit n est un multiple de d.
Positif	Un diviseur peut être positif ou négatif. Sans autres précautions, on ne considère que les diviseurs positifs.
Zéro	Tous les nombres sont des diviseurs de 0. En effet: 0/5 = 0. 0 n'est le diviseur d'aucun nombre. En effet, la division par 0 est impossible.
Pair / Impair	Les nombres divisibles par 2 sont les nombres pairs; les autres sont impairs.

Facteurs et diviseurs

Définitions

Facteurs premiers de n Ce sont les nombres qui multipliés ensemble – chacun à une certaine puissance – donne le nombre n. Facteurs de 12: {2, 3} car 12 = 2² x 3. Facteurs de 60: {2, 3, 5} car 60 = 2² x 3 x 5. En fait 2 et 3 pour 12 et 2, 3 et 5 pour 60 sont les facteurs premiers de 12 ou de 60 on dit aussi: diviseurs premiers. ou encore simplement: facteurs Diviseurs de n Les diviseurs d'un nombre n sont tous ces nombres qui peuvent le diviser exactement. Diviseurs de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}, soit 6 diviseurs. Diviseurs de 60: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, soit 12 diviseurs.

Quantité

Un nombre est soit premier, soit composé. Un nombre premier possède deux diviseurs: 1 et lui-même. Un nombre composé en possède plus de deux. Un nombre sphénique possède trois facteurs primaires distincts outre 1 et lui-même: 30 = 2 x 3 x 5 est sphénique.

Vocabulaire

Diviseur	Le diviseur d'un entier naturel n est un entier naturel a non nul tel qu'il existe un entier naturel b vérifiant: n = a b La quantité de diviseurs d'un entier naturel n est un nombre fini. Dans , tout entier n a au moins deux diviseurs: 1 et lui-même. Diviseurs de 200: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}, soit 12 diviseurs.
Diviseurs propres	Ce sont les diviseurs de n sans n lui-même. Diviseurs propres de 200: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}, soit 11 diviseurs propres.
Diviseurs triviaux	Ce sont les deux nombres 1 et n qui divisent tous les nombres sans exception. Les nombres qui ne possèdent que ces deux diviseurs triviaux sont des nombres premiers.
Diviseurs unitaires	Les diviseurs qui ne sont pas divisibles par un des autres. Exemple pour 2025 en rouge: {1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025}
Facteurs primaires	Diviseurs de n qui sont des entiers primaires, soit des puissance de nombres premiers. Facteur primaire de 200: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}, soit 5 facteurs primaires.
Diviseurs communs	Si l'entier naturel a est diviseur à la fois des entiers natureles n et m, c'et un diviseur commun. Le plus grand diviseur commun est le PGCD (plus grand commun divisueur). Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, les nombres sont premiers entre eux, ou étrangers.
Facteur	Un facteur est l'un des nombres intervenant dans un produit.
Facteurs premiers	Tout entier naturel n peut être exprimé de façon unique en un produit de nombres premiers croissants. (théorème fondamental de l'arithmétique). 200 = 2^3 x 5^2 Chacun des nombres formant le produit est un facteur premier de n. Facteurs premiers de 200: {2, 5}. On peut dire aussi que les facteurs premiers sont {2, 2, 2, 5, 5}, ce qui ne présente pas grand intérêt.
Radical	Produit des facteurs premiers non répétés. Le radical de 360 = 2^3 x 3^2 x 5 est 2 x 3 x 5 = 30
Forme canonique	Si l'on regroupe les facteurs premiers égaux, les écrivant sous forme de puissance, et si on les dispose dans l'ordre croissant des nombres premiers qui en sont la base, on obtient la décomposition canonique du nombre. Ajoutons 1 à chaque exposant des facteurs premiers et multiplions ces nombres, le produit donne la quantité de diviseurs du nombre.

Facteurs et puissances

Nombres homogènes	Nombres qui possèdent les mêmes facteurs, les puissances étant différentes. >>>
Nombres sans facteur carré	Nombres dont tous les les exposants des facteurs premiers sont égaux à 1. >>> Squarefree numbers
Nombres plénipotents	Nombre dont tous les exposants des facteurs premiers sont supérieurs à 1. >>> Powerful numbers Un nombre plénipotent, non puissance exacte, est un nombre de Achille.

Langues

Anglais

Divisor Let a and n be integers. Then a divides n if there is an integer b such that n = a b. It is said that a is a divisor or factor of b; or n is divisible by a; or n is a multiple of a. Factor A number which exactly divides into another. 3 is a factor of 6. A divisor of an integer n, also called a factor of n, is an integer which evenly divides n without leaving a remainder. Prime divisors or prime factors Factors resulting from the factorization into primes of an integer. Vocabulary This table contains the integer factorization for the numbers from 1 to 299. The fundamental theorem of arithmetic: Every integer > 1 may be factored as a product of primes in a unique way. The prime numbers are those integers larger than 1 that can be factored into two positive integers in exactly one way (not paying attention to order). A factorization into primes cannot be decomposed any further since none of the component primes can be factored again.

Références

Suite	Diviseurs – Développements Diviseurs – Théorie Quantité de diviseurs Somme des diviseurs Tables des facteurs et diviseurs
DicoMot	Facteur Diviseur
En savoir plus	Conjecture ABC (facteurs de A et de B comparés à ceux de C = A + B) Division – Définition et propriétés Division – Initiation Division des polynômes Preuve par neuf Divisibilité par 3, 11, … SOS - Je suis débutant