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22 Novembre 2025

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/01/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Cinquième postulat >>> Démonstration? >>> Conséquences >>> Parallèles et sécante

DROITES PARALLÈLES
Les deux rails sont parallèles. Ils ne se rencontrent jamais. Illustration: Une gare indienne en campagne.

Voir Expression avec le mot "droite"

CINQUIÈME POSTULAT

Éléments	Dans " les Éléments ", Euclide propose dix propositions de départ et leur applique les règles du raisonnement déductif.
Dix propositions	Cinq axiomes et cinq postulats Comme: Deux choses égales à une troisième sont égales entre elles. Incluant le cinquième postulat.
Cinquième postulat Diverses formulations	Deux droites parallèles ne se rencontrent jamais. Deux droites qui ne se rencontrent jamais ne sont nécessairement parallèles; elles doivent en outre appartenir au même plan.
	Par un point, on ne peut tracer qu'une droite et une seule qui soit parallèle à une droite donnée. Formulation de John Playfair (1748-1819)
	Une droite est un point étant fixés, il existe une droite et une seule passant par ce point et parallèle à la droite.
	Deux droites (D1 et D2), qui coupent une troisième droite (D) avec des angles internes (A1 et A2) dont la somme est inférieure à deux angles droits, se rencontrent dans la direction où la somme des deux angles est inférieure à deux angles droits. Formulation d'Euclide

Traduction en français et en anglais du cinquième postulat d'Euclide (vers -300)

Voir Historique des trois géométries

DÉMONSTRATION ?

L'énoncé du postulat est évident. Admis sans discussion par le commun des mortels. Et pourtant, toute tentative de démonstration (à partir des quatre autres) a échoué. On ne peut pas, non plus, prouver le contraire. Il peut être considéré, à notre guise, comme vrai ou faux. Selon le cas, on donne naissance à de nouvelles géométries. Il y en a de 3 types. L'indépendance a été démontrée par la donnée d'un modèle – modèle de Klein – Grâce à quoi la voie fut ouverte au développement de nouvelles géométries dites non euclidiennes. 1899: David Hilbert (1862 – 1943) publie: "Principes fondamentaux de la géométrie (Grundlagen der Geometrie) Il y démontre que la géométrie euclidienne est fondée de façon satisfaisante: que les axiomes retenus sont indépendants et qu'ils ne conduisent pas à des contradictions. Voir Indécidable

CONSÉQUENCES: Trois géométries

Cinquième postulat	Courbure de l'espace =>	Géométrie
VRAI	Nulle	Euclidienne
FAUX	Positive	Sphérique
	Négative	Hyperbolique

Suite en Trois géométries

Parallèles et sécante
D et D' sont deux droites parallèles et S une sécante. Tous les angles marqués 1 sont égaux. Comme tous ceux marqués 2. De plus les angles 1 et les angles 2 sont supplémentaires: leur somme vaut 180°, l'angle plat.

Plan parallèles
Les faces opposées d'un cube sont parallèles; les plans qui portent ces faces sont parallèles. Deux plans parallèles (P et P'): un plan sécant (S) traversent les deux plans selon deux droites parallèles (AB et A'B'). Une droite D dans le plan P et un point M sur cette droite: une perpendiculaire en M. Les droites D' du plan P' sont orthogonales à MM'.

Suite	Perpendiculaire Égalité Éléments de bases de la géométrie Constructions élémentaires: parallèles Antiparallèles
Voir	Bases de la géométrie Cinquième postulat Constructions avec des allumettes Euclide Euclide et contemporains Géométrie - Glossaire Géométrie - Index Jeux Les Éléments Les trois géométries Polygones Symétries motifs de frises et tapisseries
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