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Édition du: 11/11/2021

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Résolution

Triangle

Triangles – Relations  

Résolution

Formules

Loi des sinus

Loi des cosinus

Formules avancées

Hypoténuse

 

 

Triangles – Loi des COSINUS

Formule d'Al Kashi

Généralisation du théorème de Pythagore

 

Belles proportions entre les longueurs des côtés du triangle et les cosinus de ses angles.

 

Sommaire de cette page

>>> Loi des cosinus

>>> Démonstration

>>> Réciproque du théorème de Pythagore

>>> Exemple: deux côtés et leur angle

 

Débutants

Triangles

 

Glossaire

Triangles

 

 

Loi des cosinus

haut

 

Triangle

Un triangle quelconque ABC. Notations usuelles des angles et des côtés.

Une des hauteurs h qui crée les segments AH  = c1 et HB = c2.

 

 

Loi des cosinus

 

 

Applications

 

Pratique pour calculer

*      Le troisième côté en connaissant deux côtés et leur angle; ou

*      les angles lorsqu'on connaît les trois côtés.

 

 

Démonstration

haut

 

Démonstration avec Pythagore

Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BCH:

 

   

 

Pour info: Triangle rectangle ?

Jean-Marc signale que le triangle jaune ci-dessus est sans doute un triangle rectangle. Vérifions, en supposant qu'il est rectangle:

a² =  6² + 2² = 40 => a = 6,324 …

b² = 6² + 12² = 180 => b = 13,416…

c² = 6,324² + 13,416² = 220 => 14,832…

Or le valeur mesurée sur la figure est 14

Le triangle n'est pas exactement rectangle, mais pas loin.

Effectivement la perpendiculaire en C à AC coupe AB à une unité plus loin avec AB = 15. En reprenant le calcul ci-dessus, on trouve bien AB = 15.

Le cercle circonscrit au triangle ABC a son centre (rouge) une unité au-dessus de AB et la distance de ce centre aux sommets est de 7,07… unités (= racine de 50).

Voir Construction d'un triangle quelconque, pas si évident!

 

Démonstration (Suite)

haut

 

Démonstration sans Pythagore

 

La figure du haut montre le triangle avec ses hauteurs.

On indique la longueur des segments découpés par les pieds des hauteurs.

 

Sur la figure du bas, on a flanqué des carrés sur  les côtés du triangle.

Lesquels sont coupés en deux parties inégales par le prolongement des hauteurs.

 

L'aire de chacun des rectangles est répertoriée: c'est le segment de hauteur multiplié par le côté du carré.

On se retrouve avec des couples de rectangles avec aires identiques (repérés par une couleur).

Comparons le carré du bas aux deux autres:
Aire carré bas
= Aires carrés haut
– Aires des deux rectangles violets.

 

 

C'est le théorème de Pythagore généralisé au triangle quelconque.

On retrouve bien l'identité classique pour le triangle rectangle pour lequel le cosinus de l'angle droit est nul.

 

 

Réciproque du théorème de Pythagore

haut

Réciproque du théorème de Pythagore

On sait démontrer la loi des cosinus sans le théorème de Pythagore.

Alors, il est légitime de démontrer que:
si a² = b² + c²
alors, le triangle est rectangle (angle de 90°).

 

Si a² = b² + c²

Loi des cosinus:

  

Voir Calcul de l'aire des quadrilatères / Al Kashi

Calcul d'une formule donnant 2 comme invariant dans le triangle quelconque

Inverse du théorème de Pythagore

 

 Exemple: deux côtés et leur angle

haut

 

 

On connait:
a = 150 cm,
b = 120 cm, et
C (angle) = 70°.

 

 

Première solution en appliquant la loi des cosinus.

 

La figure est à l'échelle (10 cm = 1 carreau). Le segment "c" est recopié en haut et mis à l'horizontale. Sa mesure permet de vérifier le calcul.

 

 

 

 

 

 

 

Seconde solution avec trigonométrie et Pythagore.

 

Calcul de proche en proche pour atteindre "c"

 

Voir Résolution générale de ce cas (LAL)

 

Haut de page

 

 

Retour

*      Formules dans le triangle

*      Théorème de Pythagore sur d'autres figures que le triangle

*      Formule du triple quad

Suite

*      Loi des cosinus

*      Application au partage du cercle

*      Formules avancées dans le triangle quelconque

*      Formule de Héron et sa démonstration

Voir

*      Aire de la projection des triangles

*      Cercle

*      Géométrie

*      Polygone

*      Quadrilatère et diagonale inconnue

*      Relations trigonométriques – Formulaire

*      Résolution du triangle LLL  (trois côtés connus)

*      Triangle - Index

*      Triangle – Introduction

*      Trigonométrie

Sites

*      Loi des cosinus – Wikipédia

*      The Law of Cosines – Cut-the-knot – A. Bogomolny

*      Law of Cosines – Wolfram MathWorld

*      Proof of the Law of Cosines – Math Open Reference

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/LoiSinus.htm